Feld vor Probe
E=F/qTest definiert den lokalen Feldvektor. Im Idealgrenzfall verändert die Testladung die Quellenkonfiguration nicht.
M07K01 · Elektrisches Feld
Ein elektrisches Feld ist ein lokaler Vektor im Raum.
M06 behandelte einen normierten optischen Feldanteil phänomenologisch. M07 beginnt mit dem physikalischen Feld selbst: E(r,t) ordnet jedem Ort und Zeitpunkt einen Vektor zu. Eine ideale Testladung koppelt daran über F=qTestE.
01 · Feldkonzept
Die Quelle bestimmt das Feld; die Testladung liest es nur aus
Das Feld ist nicht die Kraft selbst. Es ist die lokale Eigenschaft des elektromagnetischen Zustands, die festlegt, welche Kraft eine hinreichend kleine Testladung erfahren würde.
Radial und mit 1/r²
Eine positive Punktladung erzeugt ein radial nach außen gerichtetes Feld, eine negative ein radial nach innen gerichtetes. Der Betrag fällt mit 1/r².
Vektoren addieren sich
Mehrere Quellen tragen unabhängig zum selben Ort bei: E(r)=ΣEᵢ(r). Richtung und Betrag des Gesamtfelds folgen aus der Vektorsumme.
Feldlinien sind kein Stoff.
Linien und Pfeile sind Visualisierungen eines kontinuierlichen Vektorfelds. Eine Feldlinie ist weder eine Teilchenbahn noch ein materieller Faden. In K01 zeichnen wir deshalb primär lokale Pfeile und messen den Vektor am Probeort.
02 · Interaktives Labor
Zwei-Ladungs-E-Feld-Labor
Zwei stationäre Punktladungen liegen auf der x-Achse im Vakuum. Die Feldkarte komprimiert nur die Pfeillängen für die Darstellung; alle numerischen Werte am Probeort stammen aus dem unskalierten Coulomb-Feld.
VektorfeldLokale E-Vektoren in der x–y-Ebene
|E| an der Sonde—
SondenzerlegungE₁ + E₂ = E
HorizontalschnittE-Komponenten bei y = yMesspunkt
Eₓ—
Eᵧ—
|E|—
Richtung—
|FTest|—
FeldeinheitN/C
Vektorsuperposition—
Coulomb-Konsistenz q₁—
Kopplung am Messpunkt—
—
—
03 · Gültigkeitsgrenze
K01 etabliert E; K02–K10 erweitern es zum vollständigen EM-System
M06K01 nutzte Ψ als normierte transversale Feldkomponente. Ab hier ist E das physikalische elektrische Feld mit Einheit und Kraftkopplung.
K02 ergänzt das magnetische Feld B als zweiten lokalen Feldvektor; das elektrostatische K01-Modell selbst benötigt es nicht.
K03 koppelt E und B zeitlich; K04 ordnet Quellenstruktur, Divergenz und Rotation anschließend als vollständiges Maxwell-System.
K05 leitet die quellenfreie elektromagnetische Wellenlösung ab; K06–K09 entwickeln daraus Lichtgeschwindigkeit, Polarisation, Energiedichte und Poynting-Fluss. K10 schließt die Kette mit einer konkreten strahlenden Quelle.
M07K02 · Magnetisches Feld
Ein Magnetfeld koppelt an bewegte Ladung.
K01 führte E über die Kraft auf eine Testladung ein. Das magnetische Feld B(r,t) ergänzt diese lokale Feldbeschreibung: Sein Kraftanteil hängt von der Geschwindigkeit ab und steht stets senkrecht auf v und B.
01 · Magnetisches Feld concept
B ist ein Vektorfeld — nicht die Bahn einer Ladung
Die Richtung von B legt zusammen mit q und v die magnetische Kraft fest. Ein ruhendes geladenes Teilchen erfährt aus dem magnetischen Anteil allein keine Kraft.
Geschwindigkeit gehört zur Messung
F=q(E+v×B) trennt elektrische und magnetische Kopplung. K02 fokussiert den Term qv×B; K03 verbindet beide Felder dynamisch.
Stationärer gerader Leiter
Ein ideal unendlich langer Strom entlang +z erzeugt konzentrische Feldrichtungen in der x–y-Ebene. Das Vorzeichen von I kehrt die Umlaufrichtung um.
Beiträge addieren sich vektoriell
Für mehrere stationäre Leiter gilt im linearen Vakuummodell B=ΣBᵢ. Auch hier können Beiträge lokal verstärken oder sich aufheben.
Rechte-Hand-Regel
Positive Stromrichtung bedeutet im Lab +z, also aus der Zeichenebene heraus. Die gekrümmten Feldrichtungen laufen dann gegen den Uhrzeigersinn. Negative Ströme zeigen in −z und kehren die Orientierung um.
02 · Magnetfeld-Labor
Zwei Leiter → lokales B-Feld → Lorentz-Kraft
Verändere Ströme, Leiterabstand, Probeort, Testgeschwindigkeit und Testladung. Die Pfeilkarte komprimiert nur die sichtbaren Pfeillängen; Probevektor, Komponenten, Kraft und Closure-Checks werden aus dem unveränderten analytischen Feld berechnet.
VektorfeldLokale B-Vektoren in der x–y-Ebene
|B| an der Sonde—
SondenzerlegungB₁ + B₂ = B
Lorentz-GeometrieFB = q v × B
HorizontalschnittB-Komponenten bei y = yMesspunkt
Bₓ—
Bᵧ—
|B|—
Richtung—
|FB|—
FeldeinheitT = N/(A·m)
Vektorsuperposition—
Geradleiter-Konsistenz—
Lorentz-Konsistenz—
Perpendicularity—
—
—
03 · Gültigkeitsgrenze
K02 etabliert B; K03–K10 führen von Kopplung zur Strahlung
Beide werden vektoriell superponiert. Ihre Kraftkopplung unterscheidet sich jedoch: qE benötigt keine Bewegung, qv×B schon.
K03 verknüpft zeitveränderliche elektrische und magnetische Felder über Faraday und den Ampère-Maxwell-Term; K02 selbst bleibt magnetostatisch.
K04 interpretiert ∇·B=0 und Ampère-Maxwell gemeinsam mit den beiden übrigen Maxwell-Gleichungen als lokales Feldsystem.
Die starre Kreisgeometrie eines stationären Drahtfelds ist keine elektromagnetische Welle. K05 konstruiert die selbstkonsistente Propagationslösung; K08/K09 quantifizieren Energie und Energiefluss, K10 bindet beides an eine strahlende Quelle.
M07K03 · Feldkopplung
Zeitliche Änderung erzeugt Wirbelfeld.
K01 und K02 behandelten statische Quellen. Jetzt wird die entscheidende dynamische Kopplung sichtbar: Eine zeitliche Änderung des magnetischen Flusses erzwingt eine elektrische Zirkulation; eine zeitliche Änderung des elektrischen Flusses trägt umgekehrt zur magnetischen Zirkulation bei.
01 · Kopplungsmechanismus
Nicht Feldstärke allein, sondern ihre zeitliche Änderung koppelt die beiden Felder
Die Integralformen vergleichen einen Umlauf mit der zeitlichen Änderung des durchspannten Flusses. In der gewählten kreissymmetrischen Geometrie wird daraus ein direkt messbarer azimutaler Feldanteil.
Änderndes B → umlaufendes E
Für ein axiales Bz(t) entsteht ein azimutales Eφ. Das Minuszeichen legt die Lenz-Richtung fest.
Änderndes E → umlaufendes B
Auch ohne Leitungsstrom trägt ε₀∂E/∂t zur magnetischen Zirkulation bei. Genau dieser Maxwell-Term symmetrisiert die dynamische Kopplung.
Innen r, außen 1/r
Innerhalb der ideal homogenen Änderungsregion wächst das induzierte Tangentialfeld linear mit Radius. Außerhalb bleibt der eingeschlossene Fluss konstant und das Feld fällt wie 1/r.
Keine instantane Fernwirkung.
Die beiden symmetrischen Beispiele sind lokale Momentaufnahmen idealisierter Quellenregionen. Sie demonstrieren die Maxwell-Kopplung und ihre Vorzeichen, aber noch keine selbstkonsistente frei propagierende Welle; K05 führt die quellenfreie Kopplung zur propagierenden Ebenenwellenlösung zusammen.
02 · Interaktives Labor
Duales Feldkopplungs-Labor
Eine kreisförmige Quellregion mit Radius a trägt entweder eine räumlich homogene axiale Änderungsrate ∂Bz/∂t oder ∂Ez/∂t. Ein Kreisweg mit Radius r misst die daraus resultierende Zirkulation.
Faraday-Induktion∂Bz/∂t → Eφ
Eφ an der Sonde—
Ampère–Maxwell∂Ez/∂t → Bφ
Bφ an der Sonde—
Gemeinsamer Geometriekerng(r;a): innen linear, außen 1/r
Messbereich—
dΦB/dt enclosed—
∮E·dl—
ID,enc = ε₀ dΦE/dt—
∮B·dl—
Lokales Eφ—
Lokales Bφ—
Faraday-Konsistenz—
Ampère-Maxwell-Konsistenz—
Lokale Rotation innen—
Ausbreitungsstatuskeine Wellenlösung
—
—
03 · Gültigkeitsgrenze
K03 koppelt E und B zeitlich; K04/K05 ordnen System und Wellenlösung
Stationäre Ladungen und Ströme erzeugten getrennte E- und B-Felder. K03 zeigt, dass zeitliche Feldänderungen zusätzliche Wirbelanteile erzwingen.
K04 liest Quellen-, Divergenz- und Rotationsaussagen als vollständiges lokales Maxwell-System.
K05 führt die gekoppelte Dynamik im quellenfreien Raum zur elektromagnetischen Wellengleichung und zu propagierenden Ebenenwellenlösungen zusammen.
K03 selbst sagt noch nichts über Energiedichte oder Poynting-Fluss. K08 und K09 bauen diese Größen später in der Argumentkette aus der vollständigen E/B-Geometrie auf.
M07K04 · Maxwell-Gleichungen — physikalische Interpretation
Vier Gleichungen beschreiben Quellen, Flüsse und Wirbel.
K01–K03 führten E, B und ihre zeitliche Kopplung getrennt ein. K04 liest diese Bausteine erstmals als vollständiges lokales Feldsystem: Divergenz fragt nach Quellen und Senken, Rotation nach Zirkulation; Ladungs- und Stromdichten liefern Quellen, zeitliche Feldänderungen koppeln beide Felder.
01 · Operatorperspektive
Divergenz und Rotation beantworten unterschiedliche geometrische Fragen
Die Gleichungen sind lokale Differentialaussagen. Über Gauß- und Stokes-Sätze besitzen sie äquivalente Integralformen, sofern Felder und Flächen die nötige Regularität besitzen.
Elektrische Ladung ist Quelle von E
∇·E=ρ/ε₀: positive Ladungsdichte erzeugt lokal positiven Nettofluss, negative Ladungsdichte negativen. Integral: ∮E·dA=Qenc/ε₀.
Kein magnetischer Quellen-Term
∇·B=0: durch jede geschlossene Fläche ist der magnetische Nettofluss null. Feldlinien können lokal eintreten und austreten, aber im klassischen Maxwell-Modell nicht an einem magnetischen Monopol enden.
Zeitänderung von B erzeugt E-Wirbel
∇×E=−∂B/∂t. Das Minuszeichen kodiert die Lenz-Richtung; K03 zeigte diese Aussage bereits in kreissymmetrischer Integralform.
J und ∂E/∂t erzeugen B-Wirbel
∇×B=μ₀J+μ₀ε₀∂E/∂t. Leitungsstrom und Verschiebungsstrom tragen gemeinsam zur magnetischen Zirkulation bei.
Ein Gleichungssatz, keine vier isolierten Regeln.
Die vier Beziehungen müssen gleichzeitig erfüllt sein. K04 interpretiert ihre lokale Struktur und Integral-Closures in einfachen Symmetrien; K05 eliminiert im quellenfreien Raum jeweils das andere Feld und erhält daraus die elektromagnetischen Wellengleichungen.
02 · Interaktives Labor
Maxwell-System-Labor
Vier idealisierte, symmetrische Testgeometrien teilen denselben Quellradius a und Integrationsradius r. Die Regler aktivieren die vier Quell-/Kopplungskanäle; das Lab prüft Differentialinterpretation und Integralform parallel.
TopologieabbildungQuelle / quellenfrei / Rotation / Rotation
Messbereich—
Lokale DifferentialformOperatoren im Sondenregime
∇·E—ρ/ε₀ im geladenen Bereich
∇·B0 T/mkein magnetischer Quellterm
(∇×E)z—−∂Bz/∂t innerhalb der Quellscheibe
(∇×B)z—μ₀(Jz+ε₀∂Ez/∂t) innerhalb der Quellscheibe
Eingeschlossene QuellenWas Integrationsfläche / -schleife umfasst
Qenc—
ΦB,net0 Wb
Icond,enc—
ID,enc—
Gauss E—
Gauss B—
Faraday—
Ampère–Maxwell—
—
—
03 · Gültigkeitsgrenze
K04 ordnet das Feldsystem; K05 liefert die quellenfreie Wellenlösung
Elektrische Quellen, fehlende magnetische Quellen und beide Curl-Kopplungen stehen nun als ein konsistentes lokales Gleichungssystem nebeneinander.
Die Divergenz der Ampère-Maxwell-Gleichung zusammen mit Gauss-E führt zur Kontinuitätsgleichung. Eine vollständige Herleitung ist hier nur als strukturelle Konsequenz markiert.
K05 nutzt im Vakuum ohne ρ und J beide Curl-Gleichungen, leitet die Wellengleichungen ab und prüft die selbstkonsistente Ebenenwellenlösung.
Energiedichte und Poynting-Vektor folgen aus E und B, bilden aber keine zusätzlichen unabhängigen Maxwell-Feldgleichungen.
M07K05 · Elektromagnetische Wellenlösung
Eine EM-Welle ist eine selbstkonsistente Lösung der gekoppelten Felder.
Im quellenfreien Vakuum verschwinden ρ und J. Übrig bleiben zwei gekoppelte Curl-Gleichungen. Erst ihre gemeinsame Lösung erzwingt eine transversale Ebenenwelle mit gemeinsamem Phasenargument und festem Verhältnis zwischen E, B und der Ausbreitungsrichtung.
01 · Quellenfreie Dynamik
Die Curl-Kopplung erzeugt eine zweite räumliche und zeitliche Ableitung
Setze ρ=0 und J=0. Dann sind ∇·E=0 und ∇·B=0. Nimmt man von Faraday beziehungsweise Ampère–Maxwell nochmals die Rotation, eliminiert man jeweils das andere Feld.
Elektrische Wellengleichung
∇×(∇×E)=−∂(∇×B)/∂t. Mit ∇×(∇×E)=∇(∇·E)−∇²E folgt ∇²E−μ₀ε₀∂²E/∂t²=0.
Magnetische Wellengleichung
Analog liefert die Rotation der Ampère–Maxwell-Gleichung ∇²B−μ₀ε₀∂²B/∂t²=0. E und B besitzen damit dieselbe Ausbreitungsstruktur.
Ein gemeinsames Phasenargument
Für eine Welle entlang +z wählen wir E∥x̂ und B∥ŷ. Beide Felder müssen denselben Wert von kz−ωt tragen; ein zusätzlicher Phasenversatz verletzt im Allgemeinen die Curl-Gleichungen.
Zwei Amplitudenbedingungen
Faraday fordert kE₀=ωB₀, Ampère–Maxwell fordert kB₀=μ₀ε₀ωE₀. Nur gemeinsam ergeben sie die Maxwell-kompatible Ebenenwelle.
K05 zeigt die Konsistenzbedingung.
Aus beiden Curl-Gleichungen folgt bereits eine eindeutige Vakuum-Ausbreitungsskala. K06 isoliert diesen Schritt, identifiziert ihn mit der Lichtgeschwindigkeit und untersucht c₀=1/√(μ₀ε₀) quantitativ.
02 · Interaktives Labor
Labor zur elektromagnetischen Wellenlösung
Die beiden sinusförmigen Felder teilen dieselbe Wellenzahl k. Du kannst Geschwindigkeit, B/E-Amplitudenverhältnis und relative B-Phase absichtlich von der Maxwell-Lösung wegstellen. Die Residuen zeigen getrennt, welche Curl-Gleichung verletzt wird.
Räumliche MomentaufnahmeE und c₀B auf derselben Skala
Phasengeschwindigkeit—
Lokale Geometriek, E und B am Probeort
Rechtshändigkeit—
Schließung über einen ZyklusNormierte Maxwell-Residuen
joint RMS—
k—
ω—
B₀—
Faraday-Bedingung—
Ampère-Bedingung—
relative Phase—
Faraday RMS—
Ampère-RMS—
transversality—
Wellengleichungsgeschwindigkeit—
—
—
03 · Gültigkeitsgrenze
K05 besitzt die Wellenlösung; K06–K10 zerlegen ihre Konsequenzen
K04 stellte vier Feldgesetze nebeneinander. K05 nutzt im quellenfreien Raum beide Curl-Gleichungen gleichzeitig und erhält eine propagierende Lösung.
K06 isoliert die hier sichtbare Geschwindigkeitsclosure aus ε₀ und μ₀ und interpretiert sie quantitativ als Vakuum-Lichtgeschwindigkeit.
K05 fixiert E∥x̂. K07 erlaubt die volle transversale E-Geometrie und ordnet die zugehörige B-Richtung konsistent zu.
Die Welle trägt Energie. K08 und K09 bauen Energiedichte und Poynting-Vektor direkt aus der validierten E/B-Lösung auf.
M07K06 · Lichtgeschwindigkeit
Die Lichtgeschwindigkeit ist die Ausbreitungsskala des Vakuum-Feldsystems.
K05 zeigte, dass beide quellenfreien Curl-Gleichungen nur gemeinsam schließen, wenn die Phasengeschwindigkeit die Maxwell-Bedingung erfüllt. K06 isoliert genau diesen Koeffizienten: Im SI-Vakuum folgt c₀=1/√(μ₀ε₀). Die Geschwindigkeit wird hier nicht aus einer optischen Strahlenregel eingesetzt, sondern aus der Dynamik der Felder gewonnen.
01 · Maxwell-Geschwindigkeit
Die Wellengleichung besitzt bereits eine Geschwindigkeit
Vergleiche ∇²E−μ₀ε₀∂²E/∂t²=0 mit der allgemeinen Form ∇²ψ−(1/v²)∂²ψ/∂t²=0. Der Koeffizientenvergleich liefert unmittelbar v=1/√(μ₀ε₀).
Kein zusätzlicher Lichtpostulat-Schritt
Innerhalb des klassischen Vakuum-Maxwell-Modells ist die Ausbreitungsskala bereits durch die elektrischen und magnetischen Feldkonstanten festgelegt.
c₀ koppelt E und B
Der hier verwendete Konstantenvertrag erfüllt intern exakt μ₀ε₀c₀²=1. Damit ist K06 direkt mit der K05-Curl-Closure verbunden.
f ändert λ, nicht c₀
Im idealen Vakuummodell gilt λ=c₀/f. Höhere Frequenz bedeutet kleinere Wellenlänge; die Phasengeschwindigkeit bleibt c₀.
Was die Koeffizienten-Slider bedeuten
Das Lab darf ε/ε₀ und μ/μ₀ absichtlich von 1 wegstellen, um die Wellengleichung sensitiv zu untersuchen. Diese Zustände sind ein idealer, verlustfreier und nichtdispersiver Koeffizientenvergleich — kein realistisches Materialmodell. Reale Medien, Leitfähigkeit und Dispersion gehören M08.
02 · Interaktives Labor
Maxwell-Geschwindigkeitsbedingungs-Labor
Verändere die beiden Wellengleichungskoeffizienten, Frequenz und Messstrecke. Das Lab koppelt daraus Geschwindigkeit, Wellenlänge und Laufzeit und hält den echten Vakuumzustand explizit von der idealisierten Koeffizientenlinse getrennt.
Koeffizientenabbildungv/c₀ = 1/√[(ε/ε₀)(μ/μ₀)]
Geschwindigkeit—
LaufzeitVakuumfront gegen Koeffizientenmodell
arrival—
Räumliche Wellegleiche Frequenz, unterschiedliche λ
Modellwellenlänge—
μ₀—
ε₀—
v—
λ—
Flugzeit—
Laufzeit gegenüber Vakuum—
(ε/ε₀)(μ/μ₀)—
v/c₀—
Vakuumidentität—
Modellkoeffizient—
λf/v—
Verhältnisidentität—
—
—
03 · Gültigkeitsgrenze
K06 identifiziert die Geschwindigkeit; K07–K10 untersuchen Geometrie, Energie und Quellen
K05 zeigte die beiden Curl-Bedingungen. K06 isoliert daraus den gemeinsamen Wellengleichungskoeffizienten und verbindet ihn mit Laufzeit und Wellenlänge.
K07 formuliert die feste K05-Feldorientierung als allgemeine transversale E/B-Geometrie.
Aus der validierten E/B-Welle folgen Energiedichte und Poynting-Vektor. Diese Größen ändern nicht die Maxwell-Geschwindigkeitsbedingung.
Permittivität, Permeabilität, Leitfähigkeit, Dispersion, Reflexion und reale Materialantwort werden erst im Propagationsmodul operationalisiert.
M07K07 · Polarisation
Polarisation ist die transversale Geometrie einer Maxwell-Welle.
M06K09 beschrieb Polarisation über zwei kohärente optische Komponenten. K07 setzt denselben Zustand in die elektromagnetische Ebenenwelle ein: E liegt quer zu k, und B=(1/c₀) k̂×E ist dadurch zu jedem Zeitpunkt festgelegt.
01 · Zustandsgeometrie
Der E-Zustand bestimmt die Polarisation; Maxwell bestimmt das zugehörige B-Feld
Für eine monochromatische Ebenenwelle entlang ±z genügt ein komplexer transversaler Zweikomponenten-Zustand. Amplitudenverhältnis und relative Phase legen Linie, Ellipse oder Kreis fest. Das magnetische Feld ist kein zweiter frei wählbarer Polarisationszustand.
Zwei transversale Freiheitsgrade
(E₀x, E₀y e^{iδ}) kodiert den reinen monochromatischen Zustand bis auf eine gemeinsame Phase. Die reale Feldspitze zeichnet daraus eine Polarisationellipse.
B folgt aus k × E
Ist die Ausbreitungsrichtung gegeben, gilt im Vakuum c₀B=k̂×E. Damit sind E, B und k paarweise orthogonal und rechtshändig orientiert.
Geometrie ohne Momentanphase
Die normierten Stokes-Koordinaten s₁,s₂,s₃ beschreiben Form, Achsenlage und Phasenorientierung der Ellipse, unabhängig davon, wo sich der Feldvektor gerade auf ihr befindet.
Konventionshinweis
Mit Eᵧ=E₀y cos(φ+δ) verwenden wir S₃=2E₀xE₀y sinδ. Das Vorzeichen von S₃ ist damit eine festgelegte Phasenkonvention; Bezeichnungen wie „links/rechts zirkular“ hängen zusätzlich von Blickrichtung und Konvention ab und werden hier bewusst nicht als universelles Label verwendet.
02 · Interaktives Labor
Electromagnetic Polarisationslabor
Stelle den transversalen E-Zustand ein und kehre die Ausbreitungsrichtung um. Das Lab konstruiert B aus Maxwell, statt es unabhängig einzustellen, und prüft Orthogonalität, Amplitudenskala und Stokes-Reinheit numerisch.
Transversale FeldebeneE ellipse + Maxwell-locked c₀B
Zustand—
Polarisationsellipse in der transversalen x-y-Ebene. Der aktuelle elektrische Vektor und c₀ mal der magnetische Vektor werden vom selben Ursprung aus dargestellt. Ihre Orientierung folgt der gewählten Ausbreitungsrichtung.
KomponentenphaseEₓ und Eᵧ über einen Zyklus
Momentaufnahme—
Stokes-ProjektionKoordinaten des reinen Zustands
s₃—
S₀—
s₁—
s₂—
s₃—
Ellipsenazimut ψ—
ellipticity χ—
|E| now—
|B| now—
Stokes-Reinheit—
E·(c₀B)—
|E|−|c₀B|—
k̂·(E×c₀B)—
—
—
03 · Modulübergreifende Brücke
M06 beschrieb den Polarisationszustand; M07 bindet ihn an die vollständige E/B-Welle
Jones-/Stokes-Geometrie bleibt konsistent. Neu ist, dass B aus k̂×E folgt und nicht unabhängig gewählt werden darf.
K05 setzte E∥x̂ und B∥ŷ. K07 erlaubt jede reine transversale Polarisation und erhält dieselbe Maxwell-Closure.
K08 überführt die hier sichtbare Gleichheit |E|=|c₀B| direkt in uE=uB für die Vakuum-Ebenenwelle.
K09 interpretiert die Orientierung E×B∥k̂ quantitativ als Poynting-Vektor.
M07K08 · Energiedichte
Feldamplitude wird zu lokaler Energie.
K07 legte die transversale E/B-Geometrie fest. K08 fragt nun, wie viel elektromagnetische Energie an einem Ort im Feld gespeichert ist. Im Vakuum tragen elektrische und magnetische Feldkomponente getrennte Energiedichten, die sich in einer Maxwell-Ebenenwelle zu jedem Zeitpunkt exakt gleich aufteilen.
01 · Lokale Feldenergie
Energiedichte ist ein lokaler Skalar, kein Energiefluss
Die Energiedichte u(r,t) beschreibt Energie pro Volumen am betrachteten Ort und Zeitpunkt. Sie besitzt keine Richtung. K09 kombiniert dieselbe E/B-Geometrie nun mit einer Richtung und erhält daraus den Poynting-Vektor.
Quadratisch in E
uE=½ε₀|E|². Das Vorzeichen einzelner Feldkomponenten verschwindet in der Energie; entscheidend ist der Betrag des momentanen Vektors.
Im Vakuum 50/50
Mit |B|=|E|/c₀ und μ₀ε₀c₀²=1 folgt zu jedem Zeitpunkt uB=uE. Diese Gleichverteilung gilt für jede reine Polarisation der Ebenenwelle.
S₀ setzt die mittlere Energie
Für Eₓ=E₀x cosφ und Eᵧ=E₀y cos(φ+δ) gilt ⟨|E|²⟩=S₀/2. Daher hängt ⟨u⟩ nur von S₀=E₀x²+E₀y² ab.
Polarisation verändert die Zeitstruktur
Bei gleichem S₀ bleibt die Zyklusmittelenergie gleich, aber die momentane Energiedichte kann unterschiedlich stark pulsieren. Für reine Zustände ist die relative Modulation Mᵤ=√(s₁²+s₂²)=√(1−s₃²): linear maximal, zirkular null.
02 · Interaktives Labor
Elektromagnetisches Energiedichte-Labor
Stelle denselben reinen transversalen E-Zustand wie in K07 ein. Das Lab berechnet elektrische, magnetische und gesamte Energiedichte über einen Zyklus. Der Faktor β=|c₀B|/|E| ist eine bewusste Vergleichslinse: Nur β=1 entspricht der quellenfreien Vakuum-Maxwell-Welle.
Energieverlauf über einen ZyklusuE, uB und gesamte lokale Energiedichte
Momentaufnahme—
Momentane Aufteilungelektrischer + magnetischer Beitrag
Zyklusmittel gesamt—
Polarisation → ModulationEnergieschwankung des reinen Zustands
Mᵤ—
uE aktuell—
uB aktuell—
u gesamt aktuell—
⟨uE⟩—
⟨uB⟩—
⟨u⟩—
Mᵤ—
s₃—
uB/uE − β²—
Konsistenz der mittleren Summe—
Mᵤ²+s₃²−1—
Maxwell-Aufteilung—
—
—
03 · Energiebrücke
K08 quantifiziert gespeicherte Feldenergie; K09 ergänzt den gerichteten Transport
Aus |E|=|c₀B| folgt mit μ₀ε₀c₀²=1 unmittelbar uE=uB.
Die relative Phase verändert die momentane Energiepulsation. Der Zyklusmittelwert bleibt bei gleichem S₀ unverändert.
K08 kennt nur den lokalen Skalar u. K09 verbindet E×B jetzt mit der Maxwell-Geometrie und quantifiziert den gerichteten Energiefluss.
Photonenenergie hf, Quantisierung und Strahlungsstatistik sind nicht Bestandteil dieses klassischen Feldmodells.
M07K09 · Poynting-Vektor
Feldenergie erhält eine Transportrichtung.
K08 quantifizierte die lokale elektromagnetische Energiedichte. K09 ergänzt die Richtung: Der Poynting-Vektor S=(1/μ₀)E×B beschreibt elektromagnetische Energie pro Fläche und Zeit. Für die quellenfreie Vakuum-Ebenenwelle zeigt er exakt entlang der Ausbreitungsrichtung.
01 · Energietransport
Der Kreuzproduktvektor verbindet Feldgeometrie und Energietransport
Die Richtung folgt nicht aus der Energiedichte allein. Erst die orientierte E/B-Geometrie aus K07 liefert mit dem Kreuzprodukt einen Flussvektor. Für die Vakuum-Ebenenwelle sind Energiedichte und Fluss lokal durch S=c₀u k̂ gekoppelt.
E × B setzt die Orientierung
Die Rechte-Hand-Regel verbindet die beiden transversalen Feldvektoren mit der Ausbreitungsrichtung. Kehrt k̂ um, kehrt auch der Poynting-Vektor um.
|S| = c₀u
Mit B=(1/c₀)k̂×E folgt S=ε₀c₀|E|²k̂. Weil K08 u=ε₀|E|² zeigte, ist die lokale Flussdichte exakt c₀u.
Polarisation ändert nicht ⟨S⟩ bei gleichem S₀
Für reine kohärente Zustände gilt ⟨|E|²⟩=S₀/2. Daher ist |⟨S⟩|=½ε₀c₀S₀; die relative Phase verändert die zeitliche Modulation, nicht den Mittelwert.
Fluss ist orientiert.
Ein negatives S·n̂ bedeutet nicht „negative Energie“. Es bedeutet, dass Energie entgegen der gewählten Flächennormale durch die Fläche transportiert wird.
02 · Interaktives Labor
Poynting-Vektor- und Flächenfluss-Labor
Stelle einen Maxwell-kompatiblen Polarisationszustand ein und projiziere seinen Energiefluss auf eine orientierte Testfläche. Das Lab berechnet momentanen und gemittelten Poynting-Vektor direkt aus E×B/μ₀.
Transport über einen Zyklusu und S/c besitzen dieselbe lokale Modulation
momentanes |S|—
Oberflächenfluss-GeometrieS, n̂ und orientierte Fläche
Momentanleistung—
WinkelprojektionFlächenfluss folgt cos θ
mittlere Leistung—
u now—
|S| now—
|⟨S⟩|—
S·n̂ now—
P now—
⟨P⟩—
Richtung—
cos θ—
|S|/(c₀u)−1—
|⟨S⟩|/(c₀⟨u⟩)−1—
Oberflächenfluss-Konsistenz—
E·B—
—
—
03 · Transportbrücke
K09 verbindet lokale Feldenergie mit transportierter Leistung
Für die Vakuum-Ebenenwelle gilt lokal S=c₀u k̂. Der Energietransport übernimmt damit Richtung und Orientierung aus der Maxwell-Geometrie.
Eine orientierte Fläche misst S·n̂. Der Winkel reduziert den Fluss mit cosθ; das Vorzeichen codiert die Durchtrittsrichtung.
Lineare, elliptische und zirkulare Polarisation können bei gleichem S₀ denselben mittleren Energiefluss tragen, obwohl ihre momentane Modulation verschieden ist.
K10 verbindet den Poynting-Fluss mit einer konkreten zeitabhängigen Quelle. Im Fernfeld wird daraus eine endliche abgestrahlte Leistung; über I/c₀ folgt der elektromagnetische Impulsfluss.
M07K10 · Quelle → Feld → Strahlung
Beschleunigte Quellen erzeugen retardierte Felder — und nur der 1/r-Term trägt Energie bis ins Fernfeld.
Ein harmonisch oszillierender elektrischer Dipol verbindet die gesamte Modulgeschichte: Ladung und Strom erzeugen ein zeitabhängiges Feld, dessen Nahfeldanteile mit 1/r³ und 1/r² abfallen. Der transversale 1/r-Term bleibt im Fernfeld übrig, bildet mit B eine Maxwell-Welle und transportiert Energie und Impuls nach außen.
01 · Retardiertes Quellenfeld
Nahfeld, Induktionsfeld und Strahlungsfeld sind Terme derselben retardierten Lösung
Für einen punktförmigen elektrischen Dipol wird das Feld am Beobachter durch den Quellenzustand zur retardierten Zeit t−r/c₀ bestimmt. Die drei radialen Skalierungen beschreiben keine getrennten Stoffe oder scharfen Zonen, sondern unterschiedliche asymptotische Beiträge derselben Maxwell-Lösung.
1/r³ — quasistatische Struktur
Der Dipolmoment-Term dominiert bei kr≪1. Er speichert Feldenergie lokal und fällt so schnell ab, dass er keine endliche Leistung durch immer größere Kugelflächen transportieren kann.
1/r² — zeitliche Kopplung
Der Term proportional zu ṗ(tr) vermittelt den Übergang. Seine charakteristische Amplitude relativ zum Nahfeld wächst wie kr.
1/r — selbsttragender Fernfeldterm
Der Term proportional zu p̈(tr) ist transversal. Weil |E|∝1/r, fällt I∝1/r² und die über eine Kugel integrierte Leistung bleibt endlich.
Keine harte Nah-/Fernfeldgrenze
Die dimensionslose Größe kr ordnet die Skalierungen: kr≪1 ist Nahfeld, kr≈1 Übergang, kr≫1 Strahlungszone. Die im Lab verwendeten Schwellen dienen nur der Anzeige; physikalisch ist der Übergang kontinuierlich.
02 · Interaktives Labor
Strahlungslabor des schwingenden elektrischen Dipols
Ein idealer harmonischer Punktdipol im SI-Vakuum. Das Lab berechnet die retardierten Feldkomponenten am Beobachter, trennt deren charakteristische 1/r³-, 1/r²- und 1/r-Skalierung und verknüpft den Fernfeldterm mit abgestrahlter Leistung und Impulsfluss.
Geometrie des retardierten FeldsQuelle, Beobachter und momentane Feldkomponenten
Zonenkoordinate—
Asymptotische FeldskalierungNah-, Induktions- und Strahlungsamplituden über kr
abgestrahlte Leistung—
FernfeldmusterStrahlung des elektrischen Dipols und Impulsfluss
Absorptionsdruck—
kr—
λ—
Eᵣ now—
Eθ now—
Bφ now—
P_rad—
I_far(r,θ)—
Druck abs / refl · normal—
c₀B_rad/E_rad−1—
Winkelleistungs-Konsistenz—
p_abs c₀/I−1—
Zonenskalierungs-Konsistenz—
—
—
03 · Modulabschluss
M07 schließt die Kette von Quelle zu Feld, Welle, Energie und Impuls
Ladung, Strom und zeitliche Feldänderungen bestimmen Divergenz und Curl. Maxwell verbindet diese lokalen Beziehungen zu einem gemeinsamen Feldsystem.
Im Vakuum entstehen transversale Lösungen mit E⊥B⊥k, fester Geschwindigkeit c₀ und vollständiger Polarisationsstruktur.
Die Felder tragen lokale Energie und transportieren sie mit dem Poynting-Vektor. Im Fernfeld des Dipols wird genau dieser Transport zum nach außen laufenden Strahlungsfluss.
K10 zeigt, wie eine konkrete Quelle Strahlung erzeugt. M08 übernimmt anschließend die Ausbreitung als eigenes Systemproblem: Phasor, Impedanz, Reflexion, Dämpfung und reale Medien.