Großes f → kleines λ₀
Da λ₀=c₀/f gilt, wächst die Frequenz genau invers zur Wellenlänge. Auf logarithmischen Achsen wird diese Beziehung zu einer Geraden mit Steigung −1.
M08K01 · EM-Spektrum
Das elektromagnetische Spektrum ist eine kontinuierliche Maxwell-Skala.
M07 hat gezeigt, wie sich gekoppelte elektrische und magnetische Felder im Vakuum ausbreiten. M08 beginnt mit der Skala dieser Lösungen: Die Frequenz f und die Vakuumwellenlänge λ₀ sind durch fλ₀=c₀ verknüpft. Radio, Mikrowelle, Infrarot, sichtbares Licht, UV, Röntgen- und Gammastrahlung sind keine verschiedenen Feldgesetze, sondern konventionell benannte Bereiche derselben kontinuierlichen Frequenzachse.
01 · Spektrumsgeometrie
Frequenz und Wellenlänge sind zwei reziproke Koordinaten derselben Welle
Im Vakuum bleibt die Maxwell-Dynamik über das gesamte Spektrum gleich. Was sich ändert, sind die räumliche und zeitliche Skala. Deshalb ist eine logarithmische Achse die natürliche Darstellung: Schon der Bereich von Radio bis Gamma umfasst viele Größenordnungen.
Keine Bandgrenze ändert Maxwell
Die Feldgleichungen besitzen an einer Bezeichnung wie „sichtbar“ oder „Röntgen“ keinen Sprung. Bandnamen sind nützliche Konventionen für Quellen, Detektoren, Materialien und Anwendungen.
Stärke verschiebt die Frequenz nicht
Die Feldamplitude bestimmt nicht, zu welchem Spektralbereich eine monochromatische Welle gehört. Im Lab kann E₀ verändert werden, ohne den Spektralmarker zu verschieben.
Klassische Grenze dieses Kapitels.
K01 beschreibt das Spektrum ausschließlich über klassische Feldgrößen, Frequenz und Wellenlänge. Die Quantisierung der Strahlungsenergie über E=hν gehört in M09; Materialantwort und Ausbreitung in Materie sind in M08K03–K05 aufgebaut; die eigentliche Frequenzabhängigkeit der Materialparameter und damit Dispersion gehört M08K07.
02 · Interaktives Labor
EM-Spektrum-Explorer
Wähle eine Mittenfrequenz auf einer logarithmischen Achse. Optional wird um sie ein logarithmisch symmetrisches Auswahlfenster in Oktaven aufgespannt. Die Bandgrenzen sind didaktische Näherungen; die zugrunde liegende Maxwell-Skala bleibt kontinuierlich.
Logarithmische AbbildungFrequenz ↔ Vakuumwellenlänge
Aktueller Bereich—
RadioMikrowelleInfrarotSichtbares LichtUltraviolettRöntgenstrahlungGamma
Frequenz f₀—
Wellenlänge λ₀—
Periodendauer T—
Kreisfrequenz ω—
Wellenzahl k—
Magnetische Amplitude B₀—
Dieselbe Lösung, andere SkalaZwei räumliche Wellenlängen + zwei Perioden
SpektralfensterZentrum + logarithmische Bandbreite
—
—
03 · Einordnung & Übergang
K01 ordnet die Skala; K02–K05 führen von Vakuumpropagation zu verlustbehafteter Materie
M08K01 besitzt keine Materialantwort. Es definiert die Frequenz-/Wellenlängenkoordinate, an der die folgenden Kapitel ihre Propagationseffekte messen.
Maxwell-Welle, c₀, Polarisation, Energiefluss und Strahlungsquelle sind bereits physikalisch geschlossen.
Frequenz, Wellenlänge, Periode, Wellenzahl und konventionelle Bandnamen werden auf einer gemeinsamen logarithmischen Skala zusammengeführt.
K02 operationalisiert die Vakuumpropagation; K03–K05 erweitern sie um Materialkoeffizienten, konstitutive Antwort und Leitungsverlust.
M08K02 · Ausbreitung im Vakuum
Im Vakuum ist Ausbreitung Phasenfortschritt mit exakt c₀.
K01 hat Frequenz und Vakuumwellenlänge auf eine gemeinsame Spektralskala gelegt. K02 macht daraus Bewegung: Für eine quellenfreie Ebenenwelle gilt ω=c₀k. Flächen konstanter Phase verschieben sich daher mit exakt c₀; zwei Beobachtungspunkte sehen dieselbe monochromatische Welle um die Laufzeit L/c₀ gegeneinander versetzt.
04 · Ausbreitungsgeometrie
Eine Ebenenwelle transportiert ihre Phase entlang der Ausbreitungsachse
Die Phase Φ=skz−ωt+φ₀ ist die natürliche Koordinate der monochromatischen Welle. Setzt man dΦ=0, folgt unmittelbar dz/dt=sω/k=sc₀. Die Richtung steckt im Vorzeichen s, nicht in einer Änderung des Betrags von c₀.
z − sc₀t = const
Ein Wellenberg ist nur eine bestimmte Phase. Im idealen Vakuum wandert jede solche Phasenfläche geradlinig mit dem Maxwell-Wert c₀.
Δt = L/c₀
Für s=+1 ist der Punkt bei z=L gegenüber z=0 um L/c₀ verzögert. Für s=−1 kehrt sich die Reihenfolge um.
E₀ bleibt konstant
Die hier verwendete unendliche Ebenenwelle besitzt weder geometrische Verdünnung noch Materialverlust. 1/r²-Abfall gehört zu Quellengeometrie, nicht zu diesem idealen Ebenenwellenmodell.
Phase ist nicht automatisch Signalfront.
Eine einzelne monochromatische Sinuswelle besitzt keine lokalisierte Front. K02 zeigt deshalb Phasenausbreitung und Laufzeitbeziehungen der idealen Vakuumlösung. Pulsform, Gruppenlaufzeit und Dispersion werden erst mit Spektralüberlagerung bzw. M08K07 sinnvoll getrennt.
05 · Interaktives Labor
Vakuumausbreitungs-Labor
Vergleiche zwei feste Beobachtungspunkte A bei z=0 und B bei z=L. Der Abstand kann viele Wellenlängen umfassen; die Visualisierung trennt daher Gesamtzahl der durchlaufenen Zyklen und Restphase.
Raum-Zeit-AnsichtLinien konstanter Phase in z–c₀t-Koordinaten
Frontsteigung—
Frequenz f—
Wellenlänge λ₀—
Sondenabstand L—
Laufzeit |Δt|—
Gesamte Phasenzyklen L/λ₀—
Restphase Δφ mod 2π—
Zwei SondenGleiche Wellenform, Ausbreitungsverzögerung als Phase kodiert
PhasenbilanzGanzzahlige Zyklen + Restphase
—
—
06 · Einordnung & Übergang
K02 isoliert die ideale Vakuumpropagation; K03–K05 erweitern sie zur materiellen Ausbreitung
Bis hierhin gelten ε=ε₀, μ=μ₀ und σ=0. Deshalb gibt es weder Abschwächung noch materialbedingte Phasenverschiebung.
Die Frequenz bestimmt λ₀, ω und k; K02 macht daraus räumlich-zeitlichen Phasenfortschritt.
Laufzeit, Phasenversatz, Ausbreitungsrichtung und die Maxwell-Relation ω=c₀k werden gemeinsam geschlossen.
K03 führt reelle Materialparameter ein, K04 löst ihre konstitutive Bedeutung auf und K05 ergänzt den dissipativen Leitfähigkeitskanal.
M08K03 · Ausbreitung in Materie
Materie ändert Phasenmaß und Feldverhältnis — nicht die Anregungsfrequenz.
K02 hat die ideale Vakuumpropagation isoliert. K03 ersetzt nun ε₀, μ₀ durch konstante effektive Materialparameter ε=εᵣε₀ und μ=μᵣμ₀. In diesem bewusst verlustfreien und nichtdispersiven Referenzmodell bleibt die Frequenz einer monochromatischen Anregung gleich, während Phasengeschwindigkeit, Wellenlänge, Transitzeit und das lokale Verhältnis von elektrischem zu magnetischem Feld vom Medium abhängen.
01 · Materialausbreitung
Ein homogenes Medium verändert zwei unabhängige Dinge: Phasenindex und Wellenimpedanz
Im einfachsten linearen, isotropen, homogenen und stationären Medium reichen zwei reelle Koeffizienten für die lokale Ebenenwelle. Ihr Produkt bestimmt das räumlich-zeitliche Phasenmaß, ihr Verhältnis das E/H-Feldverhältnis. K04 löst ihre konstitutive Bedeutung auf, K05 macht die Ausbreitung über Leitfähigkeit komplex, und K07 behandelt die eigentliche Frequenzabhängigkeit der Materialantwort.
n = √(εᵣμᵣ)
Das Produkt εᵣμᵣ legt v=c₀/n, λ=λ₀/n und die zusätzliche Phasenakkumulation über eine feste Strecke fest.
η/η₀ = √(μᵣ/εᵣ)
Zwei Medien können denselben Phasenindex besitzen und trotzdem ein verschiedenes lokales Verhältnis E/H haben. Geschwindigkeit allein beschreibt das elektromagnetische Medium deshalb nicht vollständig.
f bleibt gleich
Eine stationäre Grenzfläche erzeugt keine neue Zeitfrequenz. Im Medium ändert sich stattdessen der Wellenvektor k=nω/c₀. Reflexions- und Transmissionsamplituden gehören erst K06.
Es gilt σ=0; εᵣ und μᵣ sind reell, positiv, räumlich konstant und frequenzunabhängig. Deshalb gibt es weder Absorption noch Dispersion. K04 behandelt die Bedeutung von Permittivität und Permeabilität, K05 Leitfähigkeit und Verluste, K06 Grenzflächen und K07 Dispersion.
02 · Interaktives Labor
Materieausbreitungs-Labor
Variiere Frequenz, εᵣ, μᵣ, Strecke und Beobachtungsphase. Das Lab vergleicht dieselbe monochromatische Anregung im Vakuum und im idealisierten Material — ohne eine Grenzflächenamplitude zu behaupten.
Material-KoordinatenebeneProduktsteuerung n · Verhältnissteuerung η
aktuelles Medium—
Phasenindex n—
Phasengeschwindigkeit v—
Wellenlänge im Medium λ—
Wellenimpedanz η—
Laufzeit L/v—
Zusätzliche Laufzeit gegenüber Vakuum—
Gleiches f · gleicher ZeitpunktVakuum- und Materialwellenlängen über derselben physikalischen Strecke
Laufzeit- und PhasenbilanzGleicher Weg L · unterschiedliche Phasenakkumulation
—
—
03 · Einordnung & Übergang
K03 zeigt die Ausbreitungskonsequenzen; K04/K05 öffnen Materialantwort und Verlustkanal
Das K03-Modell behandelt εᵣ und μᵣ als gegebene reelle Parameter. Es sagt damit präzise, wie sich eine lokale Ebenenwelle ausbreitet, aber noch nicht, welche Polarisations- und Magnetisierungsmechanismen hinter diesen Zahlen stehen.
εᵣ=μᵣ=1 reproduziert exakt v=c₀, λ=λ₀ und η=η₀.
Produkt und Verhältnis der Materialkoeffizienten trennen Phasenindex von Wellenimpedanz und machen Transit- sowie Phasenänderung messbar.
K04 verbindet D, E, B, H mit Polarisation und Magnetisierung; K05 ergänzt den freien Leitungsstrom und dissipative Ausbreitung.
M08K04 · Permittivität und Permeabilität
Materialantwort bedeutet: Feldstärke und Materialbeitrag sauber trennen.
K03 hat ε und μ als fertige Koeffizienten benutzt. K04 zerlegt diese Größen nun konstitutiv. Im linearen, isotropen, homogenen und verlustfreien Referenzmodell beschreibt D den elektrischen Fluss einschließlich Polarisation P, während B aus dem magnetischen Feld H und der Magnetisierung M entsteht.
01 · Materialantwort
ε und μ sind Antwortkoeffizienten — nicht zusätzliche Maxwell-Gleichungen
Maxwells Gleichungen legen die Feldstruktur fest. Die konstitutiven Beziehungen ergänzen, wie ein bestimmtes Medium auf diese Felder antwortet. Im einfachsten Modell reagieren Polarisation und Magnetisierung proportional und ohne Phasenverzug auf die anregenden Felder.
P = ε₀χₑE
Gebundene elektrische Dipole tragen zur Verschiebungsdichte bei. Damit gilt D=ε₀E+P=ε₀εᵣE und χₑ=εᵣ−1.
M = χₘH
Die Magnetisierung fasst den materiellen magnetischen Beitrag zusammen. Im linearen isotropen Modell gilt B=μ₀(H+M)=μ₀μᵣH und χₘ=μᵣ−1.
η = √(μ/ε)
Erst das Verhältnis beider Koeffizienten legt für eine lokale verlustfreie Ebenenwelle E/H=η fest. Die konstitutiven Beziehungen selbst verlangen aber kein bestimmtes E/H-Verhältnis.
εᵣ und μᵣ werden hier als reelle, positive, skalare Konstanten behandelt. Reale Materialien können anisotrop, nichtlinear, räumlich nichtlokal, frequenzabhängig und verlustbehaftet sein. K05 ergänzt in diesem Modul bereits Leitfähigkeit und Verluste; K07 behandelt Dispersion als eigene Frequenzabhängigkeit der Materialantwort.
02 · Interaktives Labor
Konstitutives Antwortlabor
Variiere εᵣ, μᵣ, elektrische Feldamplitude, lokales E/H-Verhältnis und Phase. Das Lab trennt Vakuumanteil und Materialantwort und prüft zusätzlich, ob das gewählte Feldpaar auch zur Ebenenwellenimpedanz aus K03 passt.
Konstitutive BilanzVakuumbeitrag + Materialantwort
Momentanfaktor—
χₑ—
χₘ—
D₀—
P₀—
B₀—
M₀—
Material-Koordinatenebeneχₑ und χₘ
η/η₀—
E/H-KopplungsperspektiveStoffzustand vs. Wellenimpedanz der ebenen Welle
q / qwave—
—
—
03 · Einordnung & Übergang
K04 erklärt die Materialkoeffizienten; K05 ergänzt den dissipativen Leitfähigkeitskanal
Die Beziehungen dieses Kapitels sind rein reell und lokal. D und P bleiben phasengleich zu E, B und M phasengleich zu H. Damit kann das Medium Feldenergie speichern, aber in K04 noch keine mittlere Leistung dissipieren.
K03 nutzte εᵣ und μᵣ, um n, v, λ und η zu berechnen.
K04 zerlegt diese Koeffizienten in Vakuumbeitrag plus Polarisation beziehungsweise Magnetisierung und trennt Konstitutivgesetz von Ebenenwellenkopplung.
K05 ergänzt freie Leitungsströme und komplexe Ausbreitung: Abschwächung, Leitungsverlustfaktor und endliche Eindringtiefe werden dynamisch relevant.
M08K05 · Leitfähigkeit und Verluste
Ein reales Medium transportiert nicht nur Phase — es kann elektromagnetische Energie dissipieren.
K04 beschrieb eine rein reaktive Materialantwort mit reellen ε und μ. K05 ergänzt den freien Leitungsstrom J=σE. Dadurch wird die Ausbreitungskonstante komplex: Die Phase läuft mit β, während die Feldamplitude mit e−αz abnimmt und mittlere Feldleistung als Joule-Wärme in das Medium übergeht.
01 · Leitungsverlust
Leitungsstrom und Verschiebungsstrom konkurrieren in derselben Maxwell-Gleichung
Für eine harmonische Welle im homogenen linearen isotropen Medium lautet der Ampère-Maxwell-Term (σ+iωε)E. Der dimensionslose Quotient σ/(ωε) misst daher direkt, ob Leitungsstrom oder Verschiebungsstrom dominiert.
Jc=σE · Jd=iωεE
tanδ=σ/(ωε) ist in diesem K05-Modell der Leitungsverlustfaktor. Kleine Werte kennzeichnen ein niederverlustiges Dielektrikum; große Werte ein leiterartiges Regime.
γ = α + iβ
α ist die Amplitudendämpfung in Np/m, β die Phasenkonstante in rad/m. Daraus folgen δα=1/α, λ=2π/β und vₚ=ω/β. δα ist allgemein die 1/e-Amplituden-Eindringtiefe; im guten-Leiter-Grenzfall ist sie die klassische Skin-Tiefe.
q̄ = ½σ|E|²
Die lokale Joule-Verlustleistung pro Volumen wird aus dem mittleren Poynting-Fluss gespeist. Für die homogene Ebenenwelle gilt exakt −d⟨S⟩/dz=2α⟨S⟩=q̄.
ε, μ und σ werden bei der gewählten Frequenz als skalare Konstanten behandelt. Das Kapitel modelliert damit Leitungsverlust, aber noch keine allgemeine frequenzabhängige Materialdispersion. K06 behandelt Grenzflächen/Fresnel; K07 macht die Frequenzabhängigkeit selbst zum Thema.
02 · Interaktives Labor
Verlustausbreitungs-Labor
Variiere Frequenz, εᵣ, μᵣ und Leitfähigkeit über viele Größenordnungen. Das Lab berechnet die exakte homogene Ebenenwellenlösung und trennt Stromregime, Dämpfung, Phasenfortschritt und Energiedissipation.
StromkonkurrenzLeitungs- vs. Verschiebungsstrom
Verlustverhältnis—
α—
β—
δα—
vₚ—
λ—
η̃—
physikalisches z—
Leistungsanteil—
AbschwächungsgesetzAmplitude vs. mittlere Leistung
gewählte Tiefe—
FeldmomentaufnahmePhasenfortschritt unter einer Hüllkurve
Abschwächung / Phase—
—
—
03 · Einordnung & Übergang
K05 macht Ausbreitung verlustbehaftet; K06 setzt diese Welle an eine Grenzfläche
Mit σ>0 werden Wellenimpedanz und Ausbreitungskonstante komplex, Amplitude und Leistung nehmen mit der Tiefe ab. Eine einzelne homogene Region besitzt aber noch keine Reflexion — dafür braucht es eine zweite Region und Randbedingungen.
D=εE und B=μH liefern den speichernden Anteil des Mediums.
J=σE erzeugt reale Dissipation, komplexe γ und η̃ sowie eine endliche 1/e-Amplituden-Eindringtiefe. Im guten Leiter entspricht sie der üblichen Skin-Tiefe.
K06 koppelt zwei Medien über Maxwell-Randbedingungen und trennt reflektierte von transmittierter Leistung.
M08K06 · Reflexion und Fresnel-Verhalten
Eine Grenzfläche teilt die Welle — Randbedingungen bestimmen Reflexion und Transmission.
K03–K05 haben homogene Medien beschrieben. K06 koppelt nun zwei verlustfreie, lineare, isotrope Medien an einer ebenen Grenzfläche. Tangentiale Feldkomponenten müssen die Maxwell-Randbedingungen erfüllen; daraus folgen Snell, die Fresnel-Amplituden und die Aufteilung der einfallenden Leistung in Reflexion und Transmission.
01 · Randbedingungen
Geometrie und Wellenimpedanz wirken gemeinsam
Die Brechungsrichtung wird durch den Phasenabgleich entlang der Grenzfläche bestimmt. Die Feldamplituden hängen zusätzlich von den Wellenimpedanzen η₁ und η₂ ab. Deshalb sind gleicher Brechungsindex und gleiche Reflexion nicht dasselbe Problem.
k₁ sinθᵢ = k₂ sinθₜ
Die tangentiale Phase ist auf beiden Seiten identisch. Mit k=nω/c₀ entsteht unmittelbar das Snell-Gesetz.
E ⟂ Einfallsebene
Für s-Polarisation lautet rₛ=(η₂cosθᵢ−η₁cosθₜ)/(η₂cosθᵢ+η₁cosθₜ).
E ∥ Einfallsebene
Für p-Polarisation lautet rₚ=(η₂cosθₜ−η₁cosθᵢ)/(η₂cosθₜ+η₁cosθᵢ). Eine Nullstelle ist der Brewster-Zustand.
Beide Medien werden hier als verlustfrei, isotrop, homogen und mit reellen positiven εᵣ, μᵣ behandelt. Damit sind R und T reine Leistungsanteile. Komplexe Fresnel-Koeffizienten an absorbierenden Medien wären eine Erweiterung des K05-Modells; K07 behandelt die Frequenzabhängigkeit der Materialparameter selbst.
02 · Interaktives Labor
Fresnel-Grenzflächenlabor
Variiere beide Medien und den Einfallswinkel. Vergleiche s- und p-Polarisation, beobachte Brewster-Minimum und Totalreflexion und prüfe die Leistungsbilanz unabhängig von der Amplitudenbilanz.
StrahlengeometrieEinfallend · reflektiert · transmittiert
Regime—
n₁—
n₂—
η₁—
η₂—
θₜ—
r—
R—
T—
WinkelantwortRₛ und Rₚ über dem Einfallswinkel
aktuell—
LeistungsaufteilungEinfallende Leistung → R + T
Konsistenz—
Snell—
Leistung—
Normaler Grenzfall—
TIR—
—
—
03 · Einordnung & Übergang
K06 erklärt die einzelne Grenzfläche; K07 macht Materialantwort frequenzabhängig
Fresnel-Koeffizienten entstehen aus Randbedingungen, Brechungsgeometrie und Impedanzkontrast. In K06 bleiben die Materialparameter bei der betrachteten Frequenz reell und konstant; K07 lässt Index, Phase und Laufzeit systematisch mit der Frequenz variieren.
n, η und gegebenenfalls Verlustparameter charakterisieren jede homogene Region.
Snell plus Maxwell-Randbedingungen bestimmen reflektierte und transmittierte Amplitude sowie die Leistungsanteile.
K07 untersucht, was geschieht, wenn die Materialparameter selbst von ω abhängen und Phase und Gruppenlaufzeit auseinanderfallen.
M08K07 · Dispersion
Wenn k von ω abhängt, trennen sich Phase, Hüllkurve und Pulsform.
K03–K06 haben Material- und Grenzflächeneigenschaften jeweils bei einer betrachteten Frequenz beschrieben. K07 öffnet nun die Frequenzachse lokal: Eine reale verlustfreie Materialantwort kann für benachbarte Spektralkomponenten unterschiedliche Wellenzahlen besitzen. Dann sind Phasengeschwindigkeit, Gruppengeschwindigkeit und Gruppenlaufzeitdispersion nicht mehr dieselbe Information.
01 · Lokale k(ω)-Geometrie
Die Steigung von k(ω) bestimmt die Hüllkurvengeschwindigkeit; die Krümmung verändert den Puls
Am Träger ω₀ ist k₀=n₀ω₀/c₀. Die Tangentensteigung β₁=dk/dω liefert die Gruppenlaufzeit pro Länge und damit vg=1/β₁. Erst die Krümmung β₂=d²k/dω² lässt verschiedene Spektralkomponenten innerhalb eines schmalbandigen Pakets gegeneinander laufen.
vφ = c₀/n₀
Ein einzelner Trägerberg folgt der lokalen Phase. Diese Geschwindigkeit hängt vom Wert der Dispersionsrelation am Träger ab.
vg = c₀/ng
Für ein schmales Spektrum folgt die Hüllkurve der Tangente an k(ω). Deshalb gilt ng=n+ω dn/dω.
β₂ ≠ 0
Eine gekrümmte Dispersionsrelation erzeugt frequenzabhängige Gruppenlaufzeit. Ein transformlimitiertes Gauß-Paket verbreitert sich und erhält einen Chirp.
Lokales Modell, keine globale Materialtheorie.
Die Taylor-Entwicklung gilt nur in einem begrenzten Spektralfenster um ω₀. K07 modelliert hier reelle, verlustfreie Dispersion. Absorption und komplexe Ausbreitung wurden in K05 getrennt behandelt; K08 ergänzt geometrische Dispersion durch Randbedingungen. Eine lokale Gruppengeschwindigkeit kann in dispersiven Modellen auch größer als c₀ oder formal anomal erscheinen; daraus folgt keine superluminale Signal- oder Informationsgeschwindigkeit.
02 · Interaktives Labor
Dispersions- und Puls-Labor
Stelle lokalen Phasenindex, Gruppenindex und GVD unabhängig ein. Das Lab zeichnet die Taylor-Näherung von k(ω), ihre Tangente bei ω₀ und die analytische Entwicklung eines schmalbandigen Gauß-Pakets über die Strecke L.
DispersionskurveKrümmung relativ zur Trägertangente
Steigung—
λ₀ im Medium—
Phasengeschwindigkeit vφ—
Gruppengeschwindigkeit vg—
Gruppenlaufzeit L/vg—
β₁—
β₂L/τ₀²—
Ausgangsbreite τL—
Broadening τL/τ₀—
PaketentwicklungEingangs- und ausgebreitete Gauß-Hüllkurve
Chirp—
Phase vs. GruppeTrägerphase und Ankunft der Hüllkurve
Δt—
Phasenindex—
Gruppenindex—
β₁-Konsistenz—
Gauß-Breite—
—
—
03 · Einordnung & Übergang
K07 trennt Materialdispersion von der geometrischen Dispersion in K08
Hier hängt die Wellenzahl vom Material und der Frequenz ab, obwohl der Raum homogen bleibt. In K08 erzwingen Randbedingungen diskrete Moden und damit eine zusätzliche, rein geometrische k(ω)-Struktur.
Phasenindex, Impedanz und Verluste wurden jeweils frequenzlokal beschrieben.
dk/dω und d²k/dω² kontrollieren Hüllkurvenlaufzeit und Pulsform.
Randflächen quantisieren nun die transversale Struktur und erzeugen modale Cutoffs sowie geometrische Dispersion.
M08K08 · Wellenleiter
Randbedingungen machen aus einer kontinuierlichen Welle diskrete geführte Moden.
In K07 war k(ω) durch die Materialantwort gekrümmt. Ein ideal leitender rechteckiger Hohlleiter erzeugt eine zweite Quelle von Dispersion: Die metallischen Wände quantisieren die transversale Feldstruktur. Aus dem freien Material-Wellenvektor k bleibt für die axiale Ausbreitung nur βz übrig.
01 · Geometrische Dispersion
Der Querschnitt reserviert einen festen transversalen Wellenzahlanteil.
Für einen rechteckigen PEC-Hohlleiter mit Breite a, Höhe b und homogener Füllung ε, μ werden nur Feldmuster zugelassen, die die Randbedingungen an allen vier Wänden erfüllen.
k² = kc² + βz²
k=nω/c₀ stammt aus dem Füllmedium. kc wird ausschließlich durch Querschnitt und Modenindizes festgelegt.
fc = vm/2 · √[(m/a)²+(n/b)²]
Mit vm=1/√(με). Unterhalb fc existiert kein reelles axiales βz; der Modus ist evaneszent.
vpvg = vm²
Für die ideale nichtdispersive Füllung gilt oberhalb der Grenzfrequenz vp>vm und vg<vm. Eine überlichtschnelle Phasengeschwindigkeit transportiert keine Information.
Modenvertrag.
TE-Moden dürfen m=0 oder n=0 besitzen, aber nicht beide gleichzeitig. Für TM-Moden gilt m,n≥1. Das Lab zeigt die normierte longitudinale Modenkomponente Hz (TE) bzw. Ez (TM), nicht die vollständige Vektorfeldrekonstruktion.
02 · Interaktives Labor
Wellenleiter-Modenlabor
Wähle Geometrie, Füllmedium, Frequenz und Modus. Das Lab entscheidet aus f/fc, ob der axiale Faktor propagierend oder evaneszent ist, und koppelt Querschnittsmuster, Dispersionskurve und axiale Entwicklung.
Querschnitt—
Komponente—
Axialfaktor—
Regime—
Grenzfrequenz fc—
f/fc—
Material-λ—
guided λg—
βz / αz—
Phasengeschwindigkeit vp—
Gruppengeschwindigkeit vg—
Modenimpedanz—
ModendispersionAxiale Ausbreitung über der normierten Frequenz
aktuell—
Axialkonsistenz—
Grenzfrequenz-Konsistenz—
Geschwindigkeitsprodukt—
geführte Wellenlänge—
—
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03 · Einordnung & Übergang
K08 macht Dispersion aus Geometrie — auch bei nichtdispersiver Füllung.
K07 krümmte k(ω) durch Frequenzabhängigkeit des Materials. K08 hält das Füllmedium lokal nichtdispersiv und erzeugt die Frequenzabhängigkeit von βz allein durch transversale Randbedingungen.
Eine frequenzabhängige Materialrelation verändert bereits den Betrag des freien k(ω).
βz=√(k²−kc²) trennt transversale Struktur von axialem Transport und erzeugt eine Grenzfrequenz.
K09 fragt nicht nach geschlossenen Wänden, sondern danach, wann quellennahe reaktive Felder in strahlungsdominierte Fernfelder übergehen.
M08K09 · Nahfeld / Fernfeld
Nah- und Fernfeld sind asymptotische Feldregime, keine harte Grenzfläche.
Außerhalb eines Wellenleiters hängt die Feldstruktur nicht nur von der Wellenlänge, sondern auch von Quelle, Aperturgröße und Beobachtungsdistanz ab. Quellennahe Terme können mit 1/r³ und 1/r² abfallen; der eigentliche Strahlungsterm fällt mit 1/r. Für eine endliche Apertur kommt eine zweite Frage hinzu: Ist die sphärische Phasenfront über die Ausdehnung D bereits hinreichend eben?
01 · Zwei unabhängige Fragen
„Fern genug“ bedeutet zugleich: quellennahe Terme sind klein und die endliche Quelle erscheint phasenflach
Es gibt keine universelle einzelne Nah-/Fernfeldgrenze. Zwei dimensionslose Größen beantworten unterschiedliche Aspekte: kr misst die Entfernung in lokalen Wellenphasen, während D²/(λr) die Phasenkrümmung über einer endlichen Apertur erfasst.
1/r³ und 1/r²
Am elektrischen Dipol zeigen die lokalen Feldlösungen quasistatische und induktive Terme zusätzlich zum Strahlungsterm. Im Nahfeld können Feldenergie und Quellenkopplung dominieren; E/H=η ist dort keine allgemeine Ebenwellenrelation.
1/r und 1/r²
Im Fernfeld dominieren transversale Strahlungsterme mit Feldamplitude ∝1/r. Daraus folgt für die zeitlich gemittelte Leistungsdichte ⟨S⟩∝1/r²; das Winkelmuster wird asymptotisch entfernungsunabhängig.
Fresnel → Fraunhofer
Für eine Quelle maximaler Ausdehnung D ist RF≈2D²/λ die gebräuchliche Fraunhofer-Distanz. Sie entspricht in paraxialer Näherung einem Mittelpunkt-Rand-Phasenfehler von etwa π/8.
Regionen sind Konventionen, keine Phasenübergänge.
Die oft verwendete reaktive Nahfeldgrenze RR≈0.62√(D³/λ) und die Fraunhofer-Grenze RF≈2D²/λ sind antennengeometrische Engineering-Heuristiken. Für elektrisch kleine Quellen kann ein sauber geordnetes Dreizonenbild verschwinden. Das Lab zeigt deshalb zusätzlich die lokalen kr-Termskalen und behandelt beide Kriterien getrennt.
02 · Interaktives Labor
Nah-/Fernfeld-Konzeptlabor
Variiere Frequenz, größte Quell-/Aperturabmessung und Beobachtungsdistanz. Das Lab koppelt die lokale Dipol-Termskala an die endliche Aperturgeometrie, ohne daraus eine künstlich universelle Grenze zu konstruieren.
EntfernungsdarstellungLokale und Aperturskalen
lokal—
Dipol-SkalierungsperspektiveNahfeldterm-Amplitude relativ zur 1/r-Strahlung
Geometrie—
Wellenlänge λ—
kr—
1/r³ : 1/r—
1/r² : 1/r—
Fresnel number D²/(λr)—
exakter Randphasenfehler—
RR heuristic—
RF ≈ 2D²/λ—
heuristic ordering—
quasistatische Skalierung—
Induktionsskalierung—
exakte Phasengeometrie—
Fraunhofer-Konvention—
—
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03 · Einordnung & Übergang
K09 trennt Feldzone von Antennengeometrie — K10 baut daraus das Abstrahlungsbild.
K09 beantwortet, wann lokale Quellenfelder und endliche Phasenkrümmung vernachlässigbar werden. Es definiert noch keine konkrete Antenne, keinen Gewinn und keine Link-Budget-Geometrie.
Im Hohlleiter bestimmten Wände und Moden die Ausbreitung. Außerhalb einer Quelle fällt diese geschlossene Randbedingung weg.
kr, D²/(λr) und die unterschiedlichen Potenzen von 1/r quantifizieren den Übergang.
K10 führt Apertur, Richtwirkung, Gewinn, Polarisation und Propagationsgeometrie als zusammenhängendes Antennenmodell ein.
M08K10 · Antennenkonzept und Ausbreitungsgeometrie
Eine Antenne koppelt lokale Feldstruktur an räumliche Energieverteilung.
K09 hat geklärt, wann eine endliche Quelle aus ausreichender Entfernung als Fernfeldstrahler behandelt werden darf. K10 setzt dort an: Die abgestrahlte Leistung ist nicht gleichmäßig über den Raum verteilt. Richtwirkung beschreibt diese Winkelverteilung, Gewinn ergänzt die Effizienz, Polarisation bestimmt die Feldkopplung und die freie Raumgeometrie legt fest, welcher Anteil die Empfangsapertur erreicht.
01 · Vom Feld zur Übertragungsstrecke
Richtwirkung, Gewinn, Apertur und Polarisation sind verschiedene Faktoren derselben Energiekette
Im Fernfeld kann die zeitlich gemittelte radiale Leistungsdichte über die Strahlungsintensität U=r²⟨Sr⟩ beschrieben werden. Daraus folgt die dimensionslose Direktivität. Erst die Effizienz macht daraus den Gewinn; auf Empfangsseite wird derselbe Gewinn über die effektive Apertur wieder zu einer Fläche.
Direktivität ist keine zusätzliche Leistung
D(θ,φ)=4πU/Prad vergleicht die Leistung pro Raumwinkel mit einem isotropen Referenzstrahler gleicher Gesamtstrahlungsleistung. Eine schmale Hauptkeule erhöht U in bestimmten Richtungen, ohne Energie zu erzeugen.
Gewinn verbindet Richtwirkung mit Verlusten
Für das vereinfachte Modell gilt G=ηD. Bei linearen, passiven und reziproken Antennen sind Sende- und Empfangsrichtdiagramm miteinander verknüpft; die Empfangswirkung lässt sich durch Ae=Gλ²/(4π) ausdrücken.
Friis braucht Fernfeld und passende Feldorientierung
Die freie Raumstrecke liefert den Faktor (λ/4πR)². Für zwei lineare Polarisationen mit Winkel ψ kommt χpol=cos²ψ hinzu. Bei orthogonaler Polarisation verschwindet der ideale Kopplungsanteil.
Konkretes Lab-Modell, keine universelle Antennenformel.
Das Lab benutzt zwei idealisierte, rotationssymmetrische Kreisaperturen mit elektrischem Durchmesser D/λ. Für die Hauptkeule gilt das gleichmäßig beleuchtete Aperturmodell F(θ)=[2J₁(x)/x]² mit x=π(D/λ)sinθ und näherungsweise D₀≈(πD/λ)². Dipole, Schleifen, Arrays und reale Aperturen besitzen andere Diagramme, Nebenkeulen und Effizienzen; die allgemeinen Begriffe Direktivität, Gewinn, effektive Apertur und Friis bleiben davon getrennt.
02 · Interaktives Labor
Antennen- und Funkstrecken-Geometrielabor
Skaliere Frequenz, elektrische Aperturgrößen, Effizienzen, Entfernung, Ausrichtungswinkel und Polarisation. Das Lab berechnet das Aperturmuster, prüft die gemeinsame Fraunhofer-Bedingung und schließt die Empfangsleistung sowohl über Leistungsfluss × effektive Apertur als auch direkt über die Friis-Gleichung.
AusbreitungsgeometrieTx-Hauptstrahlrichtung, Verbindungsrichtung und Polarisation
validity—
Sendekeulen-SchnittGleichförmige Kreisapertur · normierte Leistung
Keule—
Wellenlänge λ—
Sendgewinn auf Hauptachse—
Richtfaktor F(θ)—
Tx-Gewinn bei θ—
Empfangsgewinn auf Hauptachse—
Effektive Empfangsapertur Ae—
Freiraumdämpfung—
Polarisation χpol—
Fraunhofer-Skala—
empfangene Leistung—
Gewinndefinition—
effektive Apertur—
Leistungsfluss / Friis—
Freiraumgeometrie—
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03 · Modulabschluss & Übergang
M08 endet bei klassischer Ausbreitungs- und Kopplungsgeometrie — M09 fragt, wie Strahlung Energie an Materie überträgt.
K10 verbindet das Fernfeld aus K09 mit einer konkreten Sende-/Empfangskette. Es bleibt vollständig klassisch: Frequenz, Wellenlänge, Feldleistung, Richtdiagramm und Apertur reichen aus. Die Quantisierung der Strahlungsenergie oder mikroskopische Absorptionsprozesse werden bewusst nicht vorweggenommen.
Die Fraunhofer-Skala legt fest, wann Winkelmuster und 1/R²-Leistungsgeometrie als Fernfeldmodell verwendet werden dürfen.
Direktivität, Gewinn, effektive Apertur, Polarisation und Friis bilden eine geschlossene klassische Energiekette vom eingespeisten Sender bis zur ideal empfangenen Leistung.
M09 behält die elektromagnetische Energietransportperspektive bei, ergänzt aber Spektren, Emission/Absorption und schließlich die Photonenbeschreibung E=hν.