ψtt = c²ψxx
Die Wellengleichung beschreibt die lokale Krümmungs-/Beschleunigungsbeziehung innerhalb der Domäne.
M04K01 · Boundary conditions
Eine Wellengleichung sagt, wie sich ein Feld entwickelt. Die Randbedingung sagt, was am Rand erlaubt ist.
Partielle Differentialgleichungen allein bestimmen ein endliches Wellenproblem nicht vollständig. Erst geometrische und physikalische Randbedingungen schließen das Modell — und genau aus diesen Constraints entstehen in den nächsten Kapiteln Reflexion und Transmission.
01 · Closing the PDE
Die Dynamik im Inneren und die Physik am Rand sind zwei verschiedene Teile desselben Problems
Für die ideale 1D-Wellengleichung bestimmt die PDE die lokale Ausbreitung. Welche Lösung aus der unendlichen Lösungsfamilie physikalisch zulässig ist, entscheidet zusätzlich die Randinformation.
ℬ[ψ](L,t) = g(t)
Der Randoperator legt fest, welcher Feldzustand an x=L mit der äußeren Umgebung kompatibel ist.
PDE + IC + BC
Anfangsdaten und Randbedingungen selektieren die konkrete Zeitentwicklung aus allen mathematisch möglichen Lösungen.
Nicht nur bei t=0.
Eine Randbedingung muss während der gesamten betrachteten Zeit erfüllt sein. Ein Profil, das den Rand zufällig in einem einzelnen Snapshot trifft, ist noch keine gültige Randlösung.
02 · Three linear families
Dirichlet, Neumann und Robin beschreiben drei grundlegende lineare Randtypen
Die Namen bezeichnen die mathematische Form. Welche physikalische Größe ψ repräsentiert und welche Randform daraus folgt, hängt vom konkreten Wellentyp ab.
DirichletFeldwert vorgegeben
ψ(L,t) = ψb(t)
Homogen: ψ(L,t)=0. Bei einer ideal gespannten Saite entspricht das einem festgehaltenen Ende mit verschwindender Auslenkung.
Constraint auf die FeldkoordinateNeumannNormalableitung vorgegeben
∂nψ(L,t) = qb(t)
Homogen: ∂nψ=0. Für die ideal gespannte Saite bedeutet das am freien Ende verschwindende transversale Randkraft T∂xy.
Constraint auf Gradient / FlussgrößeRobinLineare Kombination
aψ + b∂nψ = g
Gemischte Bedingungen modellieren gekoppelte Randreaktionen, beispielsweise eine nachgiebige oder impedanzartige Terminierung im passenden physikalischen Modell.
Die Koeffizienten tragen die nötigen Einheiten03 · Interactive Lab
Boundary Operator Lab
Teste eine räumliche Kandidatenfunktion X(x)=A sin(kx+φ) gegen eine homogene lineare Randbedingung am rechten Ende. Das Lab arbeitet mit dem normierten Randzustand u=X/A und q=(1/kA)∂xX, sodass Dirichlet und Neumann als zwei orthogonale Achsen desselben Zustandsraums sichtbar werden.
Räumlicher KandidatX(x)=A sin(kx+φ)
Rand verletzt
X(x)Tangente am RandRandposition
Normierter Randzustand(u,q) auf dem Einheitskreis
ℬ/A—
RandoperatorRobin
χ35°
ℬ/A = cosχ·u + sinχ·q
u(L)—
q(L)—
|ℬ|/A—
k—
λ—
θB=kL+φ—
Interpretation
Der Kandidat erfüllt den gewählten Randoperator noch nicht
—
04 · Boundary ≠ interface
Eine äußere Terminierung und eine Grenzfläche zwischen zwei Medien sind nicht dasselbe
An einer Grenzfläche treffen zwei Feldlösungen aufeinander. Welche Größen dort stetig sind, folgt aus den jeweiligen Bewegungsgleichungen und Erhaltungssätzen — nicht aus einer universellen Regel „ψ und ψ′ sind immer stetig“.
y₁(0,t) = y₂(0,t)
Eine ideal verbundene Saite kann am selben geometrischen Punkt nicht gleichzeitig zwei verschiedene Auslenkungen besitzen.
T₁∂xy₁ = T₂∂xy₂
Für eine masselose ideale Verbindung muss die transversale Kraft kontinuierlich sein. Bei T₁≠T₂ ist daher die Steigung im Allgemeinen nicht stetig.
Akustik koppelt Druck und Normalgeschwindigkeit; Elektrodynamik tangentiale Feldkomponenten nach den Maxwell-Randbedingungen. M04 benutzt deshalb später die passende Impedanz statt einer universellen Ableitungsregel.
05 · K01 in vier Aussagen
Randbedingungen sind keine kosmetischen Endpunkte, sondern Teil der Dynamikdefinition
Anfangs- und Randdaten selektieren die konkrete Lösung.
Dirichlet, Neumann und Robin beschränken unterschiedliche Randgrößen.
Ein einzelner passender Snapshot genügt nicht für eine gültige Randlösung.
An Mediengrenzen folgt die richtige Stetigkeitsbedingung aus den gekoppelten Erhaltungsgesetzen.
Rückbezug: M03K06 · Boundary-defined modes zeigte, wie ideale Endbedingungen diskrete Eigenmoden auswählen. M04K01 abstrahiert diese Idee zum Randoperator und erweitert sie auf Grenzflächen. Vorausblick: M04K02 · Reflection untersucht, wie ein einfallendes Feld den Randconstraint durch eine rücklaufende Komponente erfüllt.
M04K02 · Reflection
Reflexion ist die Randkorrektur einer laufenden Welle.
Eine einfallende Welle erfüllt einen Randconstraint im Allgemeinen nicht allein. Linearität erlaubt eine rücklaufende Lösung derselben Frequenz. Ihre komplexe Amplitude Γ wird genau so gewählt, dass die Summe aus einfallender und reflektierter Welle mit dem Rand kompatibel ist.
01 · Boundary synthesis
Am Rand erscheinen Feld und Gradient als Summe und Differenz von Hin- und Rücklauf
Mit dem harmonischen Phasoransatz ergibt sich am Rand x=0 eine besonders transparente Struktur. Genau sie verbindet K01 mit der Reflexionsphase.
ψ̂(0) = A(1 + Γ)
Dirichlet fordert ψ̂(0)=0. Daher muss die reflektierte Feldamplitude die einfallende exakt kompensieren.
∂xψ̂(0) = ikA(1 − Γ)
Neumann fordert ∂xψ̂(0)=0. Dafür müssen Hin- und Rücklauf am Rand dieselbe Feldphase besitzen.
Γ = |Γ|eiφΓ
|Γ| bestimmt die rücklaufende Amplitude, φΓ ihre Phasenverschiebung relativ zum einfallenden Phasor.
02 · Exact limits
Fest und frei unterscheiden sich bei der Saitenauslenkung nur durch das Vorzeichen von Γ
Die oft zitierte „Phasendrehung bei Reflexion“ ist keine universelle Eigenschaft eines harten Randes. Sie hängt davon ab, welche Feldgröße betrachtet wird und welcher Randoperator gilt.
Feste Saite · DirichletΓ = −1
ψ̂(0)=A(1−1)=0
Die Auslenkung reflektiert mit 180° Phasensprung. Der Rand ist zu jedem Zeitpunkt ein Knoten.
|Γ|=1 · vollständige ReflexionFreie Saite · NeumannΓ = +1
∂xψ̂(0)=ikA(1−1)=0
Die Auslenkung reflektiert ohne Phasensprung. Der freie Rand liegt an einem Schwingungsbauch.
|Γ|=1 · vollständige ReflexionReflexionsfreiΓ = 0
ψ = ψi
Es gibt keine rücklaufende Komponente. Welche reale Terminierung oder zweite Medienhälfte diesen Zustand erzeugt, wird über Impedanz in K04 formalisiert.
|Γ|=0 · kein rücklaufender LeistungsflussVorzeichen immer an die Feldvariable binden.
Beispiel Akustik: an einer ideal starren Wand reflektiert der Druck mit positivem Koeffizienten, die normale Teilchengeschwindigkeit dagegen mit negativem. „Hart = Phasensprung“ ohne Angabe der Feldgröße ist daher unvollständig.
03 · Interactive Lab
Reflection Synthesis Lab
Überlagere eine nach +x laufende Einfallswelle mit einer nach −x laufenden Reflexion. Verändere Betrag und Phase von Γ und beobachte gleichzeitig Feldsnapshot, stehende Interferenzhülle, Randphasoren und die beiden K01-Residuals für Dirichlet und Neumann.
Räumlicher Snapshotψi + ψr = ψ
partielle Reflexion
ψiψrSumme ψInterferenzhülle
Randphasoren1 + Γ
|1+Γ|—
Reflexionszustandpartiell
Γ—
|Γ|—
φΓ—
Rückleistung—
|1+Γ|—
|1−Γ|—
Hülle max/min—
—
—
Interpretation
—
—
04 · What reflection changes
Gegenlaufende Wellen erzeugen eine räumliche Hülle — vollständige Reflexion den Grenzfall einer stehenden Welle
Für eine einfallende Amplitude A und |Γ|=g liegen die Extremwerte der möglichen lokalen Summenamplitude zwischen A(1−g) und A(1+g). Die Position dieser Maxima und Minima verschiebt sich mit φΓ.
Aenv(x)=A|eikx+Γe−ikx|
Die Phase von Γ verschiebt das Interferenzmuster entlang x; der Betrag von Γ bestimmt seinen Kontrast.
Amax=A(1+|Γ|)
Amin=A|1−|Γ||
Amin=A|1−|Γ||
Bei |Γ|=1 entstehen echte Knoten mit Amin=0. Für 0<|Γ|<1 bleiben die Minima endlich.
Pr/Pi=|Γ|²
Für Hin- und Rücklauf im selben linearen Medium skaliert der zeitgemittelte rücklaufende Leistungsfluss mit dem Quadrat des Amplitudenverhältnisses. Die vollständige Energiebilanz folgt in K05.
05 · K02 in vier Aussagen
Reflexion ist eine lineare Antwort des Gesamtfeldes auf einen inkompatiblen Randzustand
Die reflektierte Welle ist kein Zusatztrick, sondern die zweite Ausbreitungsrichtung der linearen PDE.
Betrag und Phase tragen unterschiedliche Information: Stärke und Phasenverschiebung.
Das Vorzeichen der Reflexion ist an die betrachtete Feldgröße gebunden.
Nur vollständige Reflexion erzeugt ideale Knoten einer stehenden Interferenzfigur.
Rückbezug: M04K01 · Boundary conditions definierte die Randoperatoren. K02 zeigt nun, wie eine rücklaufende Komponente diese Constraints erfüllt. Vorausblick: M04K03 · Transmission ergänzt hinter einer Mediengrenze die vorwärts laufende Lösung im zweiten Medium.
M04K03 · Transmission
An einer Grenzfläche wird die Welle nicht nur reflektiert — sie setzt sich im zweiten Medium mit neuen Raumparametern fort.
K02 ergänzte die Rückwelle. K03 schließt jetzt das Interfaceproblem: links existieren einfallende und reflektierte Komponente, rechts eine transmittierte Welle derselben Frequenz. Ihre Amplituden sind nicht frei, sondern werden gemeinsam durch Feldkontinuität und Kraftbilanz festgelegt.
01 · Coupled interface conditions
Zwei Interfacebedingungen bestimmen zwei unbekannte Amplituden
Als konkreten Prototyp verwenden wir zwei ideale Saitensegmente mit Zugspannungen T₁,T₂ und linearen Massendichten μ₁,μ₂. K01 liefert die beiden Bedingungen am masselosen Übergang.
1 + Γ = τ
Die transmittierte Auslenkung beginnt genau dort, wo die Summe aus Einfall und Reflexion am Interface endet.
T₁k₁(1−Γ) = T₂k₂τ
Die räumlichen Ableitungen selbst müssen bei T₁≠T₂ nicht gleich sein. Kontinuierlich ist hier die transversale Kraft T∂ₓy.
q ≡ T₂k₂ / (T₁k₁)
q fasst genau den Faktor zusammen, der in der zweiten Interfacebedingung auftritt. K04 zeigt, warum q/ω die natürliche Impedanzgröße ist.
02 · Solve the interface
Aus den beiden Bedingungen folgen Reflexion und Transmission gleichzeitig
Für reelle, verlustfreie Saitenparameter ist q positiv. Die Amplitudenkoeffizienten sind dann reell; ein negatives Γ entspricht dem bereits aus K02 bekannten Phasensprung der reflektierten Auslenkung.
Γ = (1−q)/(1+q)
τ = 2/(1+q) = 1+Γ
τ = 2/(1+q) = 1+Γ
Γ und τ sind nicht unabhängig. Feldkontinuität koppelt sie unmittelbar.
q=1 → Γ=0, τ=1cⱼ=√(Tⱼ/μⱼ)
kⱼ=ω/cⱼ
kⱼ=ω/cⱼ
Damit gilt q=√(T₂μ₂/T₁μ₁), während k₂/k₁=√(μ₂T₁/μ₁T₂). Anpassung und Wellengeschwindigkeit sind also nicht dasselbe.
gleiche Frequenz · andere λ möglichPₜ/Pᵢ = q|τ|²
Eine transmittierte Auslenkungsamplitude τ>1 verletzt keine Energieerhaltung. Leistungsfluss hängt zusätzlich vom Medium ab. K05 formalisiert die Koeffizienten systematisch.
verlustfrei: Γ² + qτ² = 1Wichtig: τ ist feldabhängig.
Hier bezeichnet τ das Verhältnis der Saitenauslenkungen Aₜ/Aᵢ. Für andere Feldvariablen — etwa akustischen Druck oder Teilchengeschwindigkeit — ändern sich die algebraischen Transmissionskoeffizienten, obwohl dieselbe Grenzflächenphysik gilt.
03 · Interactive Lab
Interface Transmission Lab
Verändere Zugspannung und lineare Massendichte des zweiten Saitensegments relativ zu Medium 1. Das Lab löst Γ und τ aus den beiden Interfacebedingungen und zeigt gleichzeitig Feldkontinuität, geänderte Wellenlänge und den gewichteten Leistungsfluss.
Feld über beide Medieneinfallend + reflektiert → transmittiert
—
yᵢyᵣy₁ gesamtyₜ
Interface-Amplituden1+Γ=τ · 1−Γ=qτ
Lösung—
Gelöste GrenzflächeMaterial → k, q → Γ, τ
max. Residual—
Γ—
τ=Aₜ/Aᵢ—
q—
k₂/k₁—
c₂/c₁—
Pₜ/Pᵢ—
—
—
Interpretation
—
—
04 · What transmission teaches
Amplitude, Wellenlänge und Leistung sind drei verschiedene Aussagen über dieselbe Grenzfläche
Die gekoppelte Lösung trennt Größen, die in Alltagsformulierungen oft vermischt werden. Genau diese Trennung bereitet K04 und K05 vor.
ω₂ = ω₁
Eine stationäre lineare Grenzfläche erzeugt keine neue Frequenz. Geändert werden k und damit die Wellenlänge.
q=1 ⇒ Γ=0
auch bei k₂≠k₁
auch bei k₂≠k₁
Ein Interface kann reflexionsfrei sein und trotzdem eine andere Phasengeschwindigkeit besitzen. K04 macht die dafür relevante Materialkombination explizit.
τ>1 ist möglich
Pₜ/Pᵢ=q|τ|²≤1
Pₜ/Pᵢ=q|τ|²≤1
Die Feldamplitude allein ist keine Energiebilanz. K05 definiert daraus die systematischen Energiekoeffizienten.
05 · K03 in vier Aussagen
Transmission ist die zweite Hälfte desselben Interfaceproblems wie Reflexion
Links und rechts gelten eigene Wellenzahlen, aber dieselbe zeitliche Frequenz.
Feldkontinuität und Kraftbilanz bestimmen Γ und τ gemeinsam.
Eine größere Feldamplitude ist nicht automatisch ein größerer Leistungsfluss.
Reflexionsfreiheit verlangt q=1, nicht zwingend c₂=c₁ oder k₂=k₁.
Rückbezug: M04K01 · Boundary conditions lieferte die Interfacebedingungen, M04K02 · Reflection die rücklaufende Komponente. Vorausblick: M04K04 · Wave impedance abstrahiert den Faktor T·k/ω zur natürlichen Feld-/Flussrelation eines Mediums.
M04K04 · Wave impedance
Impedanz verbindet Feldbewegung und Kraftfluss einer laufenden Welle.
K03 enthielt den Faktor T·k bereits in der Interfacebedingung. Für eine harmonische Welle ist T·k/ω jedoch keine zufällige Kombination, sondern die charakteristische Wellenimpedanz. Sie trennt die Frage „Wie schnell läuft die Phase?“ von der Frage „Wie stark koppelt das Medium Kraft und Geschwindigkeit?“.
01 · Traveling-wave port variables
Für eine laufende Welle ist die Kraft-/Geschwindigkeitsrelation richtungsabhängig, ihr Betrag aber eine Medieneigenschaft
Wir definieren die transversale Portkraft als f=−T∂xy und die Teilchengeschwindigkeit als v=∂ty. Mit der Phasorkonvention e−iωt folgt für eine reine Laufwelle eine besonders einfache Relation.
f̂+ = +Z v̂+
Kraft und Geschwindigkeit besitzen für diese orientierte Portdefinition dasselbe komplexe Vorzeichenverhältnis.
f̂− = −Z v̂−
Die Ausbreitungsrichtung dreht das Vorzeichen der Portrelation um. Genau daraus entsteht am Interface die Differenz 1−Γ.
Z = √(Tμ) > 0
Z ist hier eine positive charakteristische Größe des verlustfreien Mediums. Komplexe Impedanzen und Verluste folgen erst in M04K10.
Variable beachten.
Für Auslenkung oder Geschwindigkeit ist Γv=Γy. Für die Portkraft kehrt sich das Reflexionsvorzeichen um, weil eine rücklaufende Welle f̂−=−Zv̂− erfüllt.
02 · Interface in impedance form
K03 wird mit Z auf zwei Zeilen reduziert
Da T·k=ωZ gilt, ist der bisherige Grenzflächenfaktor q exakt das Impedanzverhältnis Z₂/Z₁. Die Interfacebedingungen können damit direkt als Kontinuität der Geschwindigkeit und der Portkraft gelesen werden.
q = T₂k₂/(T₁k₁) = Z₂/Z₁ ≡ z
Reflexion hängt im normalen 1D-Interface ausschließlich von diesem Verhältnis ab — nicht separat von T, μ oder c.
Γv = (Z₁−Z₂)/(Z₁+Z₂)
τv = 2Z₁/(Z₁+Z₂)
τv = 2Z₁/(Z₁+Z₂)
Diese Koeffizienten sind identisch mit den in K03 verwendeten Auslenkungsamplituden bei gleicher ω.
Γf = −Γv
τf = 2Z₂/(Z₁+Z₂)
τf = 2Z₂/(Z₁+Z₂)
Dasselbe physikalische Interface besitzt je nach betrachteter Feldgröße ein anderes Amplitudenvorzeichen. K02s Warnung wird damit quantitativ.
Hohe Lastimpedanz nähert sich für die Saitenauslenkung dem festen Rand.
Impedanzanpassung: kein rücklaufender Anteil, unabhängig davon, ob c₂=c₁ gilt.
Niedrige Lastimpedanz nähert sich dem freien Rand.
03 · Interactive Lab
Impedance Coordinate Lab
Steuere Impedanzverhältnis z=Z₂/Z₁ und Geschwindigkeitsverhältnis s=c₂/c₁ unabhängig. Das Lab rechnet diese Koordinaten in die physikalischen Saitenparameter zurück und zeigt unmittelbar: Reflexion folgt z, Wellenlängenänderung folgt s.
Zwei-Medien-FeldReflexion aus Z · Wellenlänge aus c
—
einfallendreflektiertGesamtfeld linkstransmittiert
Materialkoordinaten(T, μ) ↔ (Z, c)
Punkt—
Impedanzlösungz bestimmt Γ · s bestimmt k₂/k₁
Matching—
Z₂/Z₁—
c₂/c₁—
T₂/T₁—
μ₂/μ₁—
k₂/k₁—
Γv—
τv—
Γf—
τf—
verlustfreier Leistungs-Sanity-Check—
Interpretation
—
—
04 · Two independent material coordinates
Z und c organisieren unterschiedliche Aspekte desselben Mediums
Für die ideale Saite sind T und μ die mikroskopisch naheliegenden Parameter. Für Grenzflächenprobleme ist die transformierte Basis (Z,c) oft wesentlich aussagekräftiger.
Z = √(Tμ)
Produktkoordinate. Sie kontrolliert die Amplitudenanpassung am normalen Interface.
c = √(T/μ)
Quotientenkoordinate. Sie kontrolliert bei festem ω die Wellenzahl k=ω/c und damit die Wellenlänge.
T = Zc
μ = Z/c
μ = Z/c
Gleiche Impedanz kann bei sehr verschiedenen Geschwindigkeiten auftreten — und umgekehrt.
Warum Z auch für Energie wichtig wird.
Für eine harmonische +x-Laufwelle gilt im verlustfreien Saitenmodell ⟨P⟩=(1/2)Z|v̂|²=(1/2)|f̂|²/Z. K05 verwendet genau diese Relation, um aus Amplitudenkoeffizienten dimensionslose Energiekoeffizienten zu bilden.
05 · K04 in vier Aussagen
Impedanz ist die natürliche Grenzflächenkoordinate für laufende Wellen
Z koppelt Kraft und Geschwindigkeit einer reinen Laufwelle.
Vorwärts- und Rückwärtswelle unterscheiden sich in der Kraft-/Geschwindigkeitsrelation.
Reflexionsfreiheit verlangt gleiche Impedanz, nicht gleiche Phasengeschwindigkeit.
Z kontrolliert Interfaceamplituden, c die räumliche Phasenentwicklung.
Rückbezug: M04K03 · Transmission führte q=T₂k₂/(T₁k₁) ein; K04 identifiziert q=Z₂/Z₁. Vorausblick: M04K05 · Energy coefficients normiert die Leistungsflüsse zu Reflexions- und Transmissionskoeffizienten.
M04K05 · Energy coefficients
Amplitude sagt, wie groß das Feld ist. Energie sagt, wie viel Leistung die Welle transportiert.
K04 hat die laufende Welle über ihre Impedanz beschrieben. Jetzt wird daraus eine dimensionslose Energiebilanz: Reflexions- und Transmissionskoeffizienten vergleichen gerichtete, zeitgemittelte Leistungsflüsse — nicht bloß Feldamplituden.
01 · Directed power flux
Die Impedanz übersetzt Amplitude in transportierte Leistung
Für eine harmonische laufende Welle mit Geschwindigkeitsphasor v̂ und Portkraftphasor f̂ gilt im idealen verlustfreien Medium. Das Vorzeichen des Leistungsflusses trägt die Ausbreitungsrichtung; die folgenden Beträge sind positiv definiert.
⟨P⟩ = ½ Z |v̂|²
Bei gleicher Geschwindigkeitsamplitude transportiert ein Medium mit größerer Impedanz mehr Leistung.
⟨P⟩ = ½ |f̂|² / Z
Bei gleicher Kraftamplitude kehrt sich die Impedanzgewichtung um. Beide Darstellungen beschreiben denselben physikalischen Fluss.
Amplitude ×a ⇒ Leistung ×a²
Die dimensionslosen Koeffizienten bleiben dabei unverändert. Sie gehören zur Grenzfläche, nicht zur absoluten Anregungsstärke.
Warum |τ|² allein nicht genügt.
Die transmittierte Welle läuft in Medium 2. Ihre Amplitude muss deshalb mit dessen Impedanz in einen Leistungsfluss übersetzt werden. Nur bei Z₂=Z₁ fällt die Impedanzgewichtung weg.
02 · From amplitudes to coefficients
ℛ und 𝒯 sind Quotienten gerichteter Leistungsbeträge
Mit z=Z₂/Z₁ und den K04-Amplitudenkoeffizienten Γv=(1−z)/(1+z), τv=2/(1+z) folgt die verlustfreie Energiebilanz unmittelbar.
ℛ ≡ Pr/Pi = |Γv|²
Einfallende und reflektierte Welle liegen im selben Medium. Deshalb kürzt sich Z₁ heraus.
𝒯 ≡ Pt/Pi = z|τv|²
Die Impedanz von Medium 2 bleibt als Gewichtungsfaktor erhalten.
ℛ = (1−z)²/(1+z)²
𝒯 = 4z/(1+z)²
𝒯 = 4z/(1+z)²
Für reale positive Impedanzen gilt exakt ℛ+𝒯=1.
Da Γf=−Γv, ist der reflektierte Energieanteil feldvariablen-invariant.
Die inverse Impedanzgewichtung kompensiert die andere Kraftamplitude.
Vertauscht man hohe und niedrige Lastimpedanz, ändert sich die Reflexionsphase, aber nicht der Energieanteil.
03 · Interactive Lab
Energy Ledger Lab
Ändere das Impedanzverhältnis und die absolute Anregung getrennt. Das Lab zeigt zugleich Amplitudenkoeffizienten, absolute Leistungen und die normierte Bilanz. Besonders sichtbar wird, warum τv>1 trotzdem 𝒯<1 bedeuten kann.
Feld + LeistungsrichtungAmplitude ist nicht Balkenbreite der Energie
höhere Lastimpedanz
vivrvi+vrvt
Normierte Energiebilanz1 = ℛ + 𝒯
Restfehler—
Amplitude → Leistungz=4.00
Bilanz—
Γv—
τv—
Γf—
τf—
ℛ—
𝒯—
Pi—
Pr—
Pt—
variable-invariante Transmission—
Interpretation
—
—
04 · What the coefficients preserve
Die Energiebilanz bleibt gleich, obwohl sich Amplitudenbild und Reflexionsphase ändern
Die dimensionslosen Energiekoeffizienten abstrahieren genau jene Eigenschaften, die für den Nettofluss relevant sind.
𝒯(z)=𝒯(1/z)
Eine 4:1- und eine 1:4-Grenzfläche übertragen denselben Leistungsanteil, obwohl Γv das Vorzeichen wechselt.
z|τv|² = |τf|²/z
Geschwindigkeits- und Kraftamplituden sehen verschieden aus, ergeben aber dieselbe physikalische Transmission.
1 − ℛ − 𝒯 = 0
Erst wenn Absorption oder andere Kanäle existieren, wird die Bilanz zu ℛ+𝒯+𝒜=1 erweitert.
Gültigkeitsbereich.
Die hier verwendeten einfachen Formeln gelten für ein einzelnes 1D-Interface bei normalem Einfall und reellen positiven charakteristischen Impedanzen. K06 erweitert die Geometrie auf schrägen Einfall; K08 auf Mehrschichtsysteme; K10 auf komplexe, verlustbehaftete Medien.
05 · K05 in vier Aussagen
Energiekoeffizienten sind die transportrelevante Version der Amplitudenkoeffizienten
Amplituden skalieren linear; transportierte Leistung skaliert mit dem Betragsquadrat.
𝒯 ist nur nach Impedanzgewichtung der transmittierten Amplitude ein Energieanteil.
Am idealen verlustfreien Interface bleibt der gesamte zeitgemittelte Leistungsfluss erhalten.
Reziproke Impedanzsprünge besitzen entgegengesetzte Reflexionsphase, aber dieselben Energieanteile.
Rückbezug: M04K04 · Wave impedance lieferte Z und die Amplitudenkoeffizienten. Vorausblick: M04K06 · Refraction erweitert den Medienübergang um Ausbreitungsrichtung und Winkel.
M04K06 · Refraction
Eine Grenzfläche muss nicht nur Amplituden koppeln. Sie muss Phase entlang der Grenzfläche konsistent halten.
Bei schrägem Einfall kommt zur K01–K05-Interfacephysik eine geometrische Bedingung hinzu: Eine stationäre, homogene Grenzfläche kann weder die Frequenz noch die tangentiale Phasenrate sprunghaft ändern. Daraus folgt die Brechungsrichtung — unabhängig davon, welche konkrete Feldgröße später ihre Amplitude trägt.
01 · Why the interface constrains direction
Phasengleichheit muss an jedem Punkt der Grenzfläche gleichzeitig gelten
Wir betrachten eine ebene, zeitlich unveränderliche Grenzfläche bei z=0. Jede beteiligte ebene Welle besitzt dort eine Phase, die entlang x und in der Zeit konsistent zusammenpassen muss.
ψ ∝ exp{i(k∥x + kₙz − ωt)}
Der Wellenvektor wird in eine tangentiale und eine normale Komponente zur Grenzfläche zerlegt.
Δφ(x,t) = 0 für alle x,t
Die Phase darf nicht nur an einem einzelnen Ort passen. Sie muss entlang der gesamten homogenen Grenzfläche kohärent bleiben.
ω₁=ω₂
k∥,₁=k∥,₂
k∥,₁=k∥,₂
Zeitinvarianz erhält die Frequenz; Translationssymmetrie entlang der Grenzfläche erhält die tangentiale Wellenzahl.
Auch die Reflexionsrichtung folgt daraus.
Für die reflektierte Welle gilt im selben Medium |kᵣ|=|kᵢ| und k∥,ᵣ=k∥,ᵢ. Daher ist bei einer ebenen stationären Grenzfläche der Reflexionswinkel gleich dem Einfallswinkel: θᵣ=θ₁.
02 · Snell from wave vectors
Brechung ist die geometrische Antwort auf konstantes k∥ bei geändertem |k|
Da |k|=ω/c gilt und ω über die stationäre Grenzfläche unverändert bleibt, ändert eine andere Phasengeschwindigkeit den Radius des zulässigen Wellenvektors. Der tangentiale Anteil muss trotzdem derselbe bleiben.
sinθ₂ = (c₂/c₁) sinθ₁
Ist Medium 2 langsamer, wird θ₂ kleiner; ist es schneller, wird θ₂ größer — solange eine reelle propagierende Lösung existiert.
λ₂/λ₁ = c₂/c₁
Die Frequenz bleibt gleich. Daher ändert sich die Wellenlänge im selben Verhältnis wie die Phasengeschwindigkeit.
n₁ sinθ₁ = n₂ sinθ₂
Für Licht in isotropen Medien gilt n=c₀/cphase. Damit ist die bekannte Snell-Form nur dieselbe Phasenbedingung in Brechungsindex-Koordinaten.
Kinematik ≠ Amplitudengesetz.
Die Richtungsrelation oben ist sehr allgemein. Reflexions- und Transmissionsamplituden bei schrägem Einfall hängen dagegen von Feldtyp, Polarisation, Randbedingungen und winkelabhängiger Impedanz ab. Die einfachen K05-Koeffizienten für ein 1D-Interface bei normalem Einfall werden deshalb hier nicht unzulässig weiterverwendet.
03 · Interactive lab
Phase-Matching Lab
Verändere Einfallswinkel und Geschwindigkeitsverhältnis. Das Lab konstruiert die gebrochene Richtung aus demselben tangentialen Wellenvektor und zeigt gleichzeitig die äquivalente Geometrie im k-Raum.
RealraumWellenfronten und Strahlrichtungen
Medium 2 langsamer · zum Lot
einfallendreflektiertgebrochen
θ₂—
θ₂−θ₁—
λ₂/λ₁—
k₂/k₁—
k-RaumGleiches k∥, anderer Kreisradius
|k₁||k₂|gemeinsames k∥
Langsameres Medium: der Wellenvektor dreht zum Lot
Die tangentiale Komponente bleibt konstant; der größere Wellenzahlbetrag in Medium 2 erzwingt einen kleineren Winkel.
Phasen-Matching-Check—
k∥/k₁—
numerischer Residual—
04 · What changes and what does not
Die Grenzfläche ändert die Normalgeometrie — nicht die gemeinsame Interfacephase
Die saubere Trennung der Größen verhindert mehrere typische Fehlinterpretationen.
ω · k∥
Eine stationäre homogene Grenzfläche erhält Frequenz und tangentiale Wellenzahl.
|k| · kₙ · λ · θ
Phasengeschwindigkeit und Dispersion des Mediums legen den neuen Wellenzahlbetrag und damit Normalanteil, Wellenlänge und Richtung fest.
Γ(θ), τ(θ)
Die Amplitudenkoeffizienten benötigen zusätzliche Physik. Für elektromagnetische Wellen kommt später sogar die Polarisation hinzu.
Grenze der propagierenden Konstruktion.
Für c₂>c₁ wächst θ₂ schneller als θ₁. Sobald (c₂/c₁)sinθ₁>1 wäre, kann kein reeller transmittierter Wellenvektor mit demselben k∥ konstruiert werden. K07 behandelt genau diese Fortsetzung: Totalreflexion und evaneszente Normalstruktur.
05 · K06 in vier Aussagen
Brechung ist Phasenmatching in zwei Dimensionen
Eine stationäre Grenzfläche erzeugt keine neue zeitliche Frequenz.
Homogenität entlang der Grenzfläche erzwingt dieselbe tangentiale Phasenrate.
Eine andere Phasengeschwindigkeit ändert |k| und damit den nötigen Normalanteil.
Snell ist kinematisch; winkelabhängige Reflexions- und Transmissionsstärken brauchen zusätzliche Randphysik.
Rückbezug: M04K05 · Energy coefficients behandelte Leistungsanteile für normalen 1D-Einfall. Vorausblick: M04K07 · Total internal reflection untersucht den Fall, in dem die reelle Brechungskonstruktion endet.
M04K07 · Total internal reflection
Wenn kein reeller Normalanteil mehr existiert, verschwindet die Lösung nicht. Sie wird evaneszent.
K06 endete an der Grenze k∥ = |k₂|. K07 setzt dieselbe Phasenbedingung in den komplexen Wellenzahlraum fort: oberhalb des kritischen Winkels wird k₂,n = iα. Die Phase läuft entlang der Grenzfläche weiter, während die Feldamplitude in Medium 2 exponentiell abfällt.
01 · One equation, three regimes
Der kritische Winkel ist keine neue Randbedingung, sondern die Stelle, an der der reelle k-Raum endet
Die stationäre, entlang der Grenzfläche homogene Situation behält aus K06 weiterhin ω₁=ω₂ und k∥,1=k∥,2. Neu ist nur, dass der Normalanteil nicht zwingend reell sein muss.
k₂,n = √(k₂²−k∥²)
Ein reeller Normalanteil erzeugt eine propagierende gebrochene Welle in Medium 2.
k∥ = k₂
Der Normalanteil verschwindet. Die Grenzlösung läuft tangential zur Grenzfläche.
k₂,n = iα
α = √(k∥²−k₂²)
α = √(k∥²−k₂²)
Die Normalphase wird durch exponentielle Abnahme ersetzt: keine propagierende Abführung normal zur Grenzfläche.
Kritischer Winkel.
Mit r=c₂/c₁ und k₂/k₁=1/r existiert ein kritischer Winkel nur für r>1. Dann gilt sin θc = 1/r = c₁/c₂. In optischer Schreibweise entspricht das n₁>n₂ und sin θc=n₂/n₁.
02 · Complex normal wave number
Im evaneszenten Feld bleibt die tangentiale Phase reell, die Normalkoordinate wird zum Zerfallsfaktor
Für z>0 in Medium 2 wählt die physikalisch beschränkte Lösung das Vorzeichen, das vom Interface weg abklingt.
ψ₂ ∝ ei(k∥x−ωt) e−αz
Es gibt Phasenfortschritt entlang x, aber keinen reellen Phasenfortschritt in z.
δA = 1/α
Nach einer Tiefe δA ist die Feldamplitude auf e⁻¹ gefallen.
|ψ|² ∝ e−2αz
Die e-Faltungstiefe einer zur Feldamplitude quadratischen lokalen Größe beträgt 1/(2α).
„Total“ bedeutet nicht „Feld null in Medium 2“.
Im verlustfreien Ein-Kanal-Fall kann keine zeitgemittelte Nettoleistung normal in die Tiefe von Medium 2 propagieren; daher kehrt die normale Leistung vollständig in Medium 1 zurück. Ein evaneszentes Nahfeld kann trotzdem an der Grenzfläche existieren und — abhängig vom Wellentyp — tangentiale Energieflüsse oder reaktive Energiespeicherung besitzen. Seine genaue Amplitude und die Reflexionsphase folgen aus den konkreten Randgleichungen, nicht aus Snell allein.
03 · Interactive Lab
Critical-Angle & Evanescent-Field Lab
Fahre kontinuierlich durch unterkritische Brechung, kritische Lage und Totalreflexion. Realraum und k-Raum verwenden dieselben dimensionslosen Wellenzahlen; die Eindringtiefe wird direkt aus α berechnet.
RealraumPropagierende Richtung ↔ evaneszente Normalstruktur
—
einfallendreflektiertMedium-2-Lösung
θc—
k∥/k₁—
k₂/k₁—
k₂,n/k₁—
k-RaumSchnitt mit dem |k₂|-Kreis
|k₂|vorgegebenes k∥
Evaneszenter ZerfallA(z)/A(0) = e−αz
α/k₁—
δA/λ₁—
|ψ|² e-fold / λ₁—
Interpretation—
Normaler Kanal—
—
Dispersionscheck—
04 · Energy and phase bookkeeping
Totalreflexion schließt den propagierenden Normalkanal — nicht die lokale Feldkopplung
Damit lassen sich drei häufig vermischte Aussagen sauber trennen.
ω · k∥ bleiben erhalten
Dies gilt unter- und oberhalb des kritischen Winkels unverändert.
Re(k₂,n) → 0
Im(k₂,n) → α
Im(k₂,n) → α
Der reelle Normalphasengrad wird zum exponentiellen Zerfall.
ℛ → 1
Ohne Absorption oder weitere propagierende Kanäle kann im TIR-Regime keine Nettoleistung normal in Medium 2 entkommen.
Warum die Reflexionsphase hier offen bleibt.
|Γ|=1 fixiert nur den Betrag im verlustfreien TIR-Fall. Die Phase von Γ wird durch die konkreten Kontinuitätsbedingungen und die gewählte Feldgröße bestimmt. In der Elektrodynamik unterscheiden sich beispielsweise die beiden Polarisationen — das gehört in die späteren EM-Module, nicht in eine vermeintlich universelle M04-Formel.
05 · K07 in vier Aussagen
Totalreflexion ist die komplexe Fortsetzung derselben k-Geometrie
Am kritischen Winkel berührt das vorgegebene k∥ den |k₂|-Kreis.
Oberhalb der Grenze ersetzt exponentieller Zerfall die normale Phasenausbreitung.
Medium 2 trägt ein lokal gekoppeltes Nahfeld trotz fehlender propagierender Normallösung.
Vollständige Rückkehr der Normalleistung gilt für die verlustfreie Ein-Kanal-Grenzfläche ohne weitere Abflusswege.
Rückbezug: M04K06 · Refraction lieferte die reelle Phasenmatching-Konstruktion. Vorausblick: M04K08 · Multi-layer systems koppelt mehrere Grenzflächen — dort können evaneszente Felder über endliche Schichten miteinander wechselwirken.
M04 · Roadmap
Von Brechung zu Grenzfällen und realen Medien
K01–K07 sind implementiert. Die folgenden Kapitel führen die Interfacephysik in Schichtsysteme, Dispersion und Verluste weiter.
Multi-layer systems
Mehrfachreflexionen und geschichtete Medien.
Dispersion in media
Frequenzabhängige Materialantwort und Ausbreitung.
Lossy media
Komplexe Wellenzahl, Dämpfung und Energieverlust.