ℒ[ψ] ≡ ψtt − c²ψxxℒ[ψ] = 0
Jede Funktion ψ, die diese Gleichung erfüllt, ist innerhalb des Modells eine zulässige Welle.
M03 · K01
Superposition principle
Lineare Wellengleichungen erlauben mehr als eine einzelne Lösung: beliebige lineare Kombinationen zulässiger Wellen sind wieder zulässige Wellen. Das ist die mathematische Grundlage für Interferenz, stehende Wellen, Moden und Spektralzerlegungen.
01 · Lineare Struktur
Nicht das Wellenbild, sondern der Operator macht Superposition möglich
Für die eindimensionale verlustfreie Wellengleichung definieren wir den linearen Differentialoperator ℒ. Seine zwei Eigenschaften — Homogenität und Additivität — sind exakt das Superpositionsprinzip.
ℒ[aψ] = aℒ[ψ]
Eine Lösung darf mit einem konstanten Faktor skaliert oder mit negativem Vorzeichen versehen werden.
ℒ[ψ₁ + ψ₂] = ℒ[ψ₁] + ℒ[ψ₂]
Zwei Lösungen derselben linearen Gleichung dürfen punktweise addiert werden.
Folgerung
ℒ[ψ₁] = 0, ℒ[ψ₂] = 0⇒ ℒ[aψ₁ + bψ₂] = 0
Die Koeffizienten a und b dürfen beliebige konstante reelle Werte annehmen. Das Vorzeichen gehört damit zur linearen Kombination; eine gesonderte physikalische Wechselwirkung ist dafür nicht nötig.
02 · Was sich addiert
Das Feld addiert sich am selben Ort und zur selben Zeit
Superposition ist lokal im Zustandsfeld: Für jedes feste x und t ist der resultierende Feldwert die algebraische Summe der Einzelbeiträge.
Eine für sich zulässige Lösung des linearen Wellenmodells.
Eine zweite Lösung; Wellenzahl, Richtung und Amplitude dürfen sich unterscheiden.
ψ = aψ₁ + bψ₂. Es gibt nicht drei physische Felder, sondern ein Feld mit zwei mathematischen Beiträgen.
Wichtig:
Aus Feldadditivität folgt nicht automatisch punktweise Energieadditivität. Quadratische Größen enthalten Kreuzterme, z. B. (ψ₁ + ψ₂)² = ψ₁² + 2ψ₁ψ₂ + ψ₂². Genau diese Struktur wird in K02 zur Interferenz sichtbar.
03 · Interactive Lab
Linear Superposition Lab
Zwei analytische Lösungen derselben Wellengleichung werden unabhängig parametrisiert und punktweise summiert. Der Probeort zeigt die algebraische Addition; der Operator-Check prüft gleichzeitig, ob auch die Summe die Wellengleichung erfüllt.
Zwei Lösungen → ein Feldψ = aψ₁ + bψ₂
läuft
aψ₁bψ₂ψ gesamt
k₁1.963rad/m
k₂2.992rad/m
ω₁3.927rad/s
ω₂5.984rad/s
Punktweise Addition bei x*Die Summe ist algebraisch, nicht geometrisch neu definiert
aψ₁(x*,t)+0.000
bψ₂(x*,t)+0.000
Summe+0.000
Operator-CheckErfüllt auch die Summe die Wellengleichung?
ℒ[ψ] = ψtt − c²ψxxℒ[aψ₁+bψ₂] = aℒ[ψ₁] + bℒ[ψ₂]
|ℒ[ψ]| am Probeort0.00 × 10⁰numerischer Rundungsrest
linear konsistent
Zwei unabhängige Lösungen überlagern sich
Beide Komponenten laufen mit derselben Wellengeschwindigkeit c, dürfen aber verschiedene Wellenlängen und Koeffizienten besitzen. Die dicke Kurve ist an jedem x exakt ihre algebraische Summe.
04 · Gültigkeitsbereich
Superposition ist eine Aussage über lineare Modelle
Dass sich reale Wellen häufig sehr gut überlagern, ist kein universelles Naturgesetz für beliebige Amplituden und Medien. Es folgt aus der Linearität der verwendeten Bewegungsgleichung und ihrer Randbedingungen.
ψ₁ und ψ₂ müssen Lösungen desselben linearen Operators mit kompatiblen Randbedingungen sein. Dann ist jede lineare Kombination wieder zulässig.
Bei einer Gleichung mit z. B. βψ³ gilt im Allgemeinen nicht (ψ₁+ψ₂)³ = ψ₁³+ψ₂³. Die einfache Superposition bricht auf.
Das Feld addiert sich linear; Energie, Intensität und andere quadratische Observablen enthalten gemischte Terme. Deshalb entstehen Interferenzmuster.
05 · K01 in vier Aussagen
Lineare Lösungen bilden einen Raum, in dem Addieren erlaubt ist
Superposition folgt aus Homogenität und Additivität der Bewegungsgleichung.
Am selben Ort und zur selben Zeit ist das resultierende Feld die algebraische Summe seiner Beiträge.
Konstante Skalierungsfaktoren, auch negative, erhalten die Lösungseigenschaft eines linearen homogenen Systems.
Sobald der Operator nichtlinear wird, ist die einfache Summe zweier Lösungen im Allgemeinen keine Lösung mehr.
Rückbezug: M02K02 · Traveling waves liefert die einzelnen fortschreitenden Lösungen; M02K06 · Energy transport zeigt, warum quadratische Energiegrößen nicht einfach wie das Feld addiert werden.
M03 · K02
Constructive and destructive interference
Wenn zwei kohärente Wellen dieselbe Frequenz und Wellenzahl besitzen, entscheidet ihre relative Lage darüber, ob sich ihre Feldbeiträge verstärken oder abschwächen. K02 betrachtet die beiden Grenzfälle: gleichphasig und gegenphasig.
01 · Zwei kohärente Beiträge
Gleiche k und ω machen die relative Lage dauerhaft vergleichbar
Wir betrachten zwei harmonische Wellen, die in dieselbe Richtung laufen und dieselben Werte für Wellenzahl und Kreisfrequenz besitzen. Damit bleibt ihre relative Phasenlage überall und zu jeder Zeit konstant.
ψ₁ = A₁ sin(kx − ωt)
Amplitude A₁, gemeinsame Wellenzahl k und Kreisfrequenz ω.
ψ₂ = A₂ sin(kx − ωt + Δφ)
Nur die relative Phasenlage Δφ unterscheidet den zweiten Beitrag.
ψ = ψ₁ + ψ₂
Weil beide Beiträge dieselben k und ω besitzen, bleibt auch die Summe harmonisch. Nur ihre resultierende Amplitude ändert sich.
02 · Die beiden Grenzfälle
Verstärkung und Auslöschung folgen direkt aus dem Vorzeichen
Für Δφ = 0 liegen Maxima und Minima zusammen. Für Δφ = π ist der zweite Beitrag exakt vorzeicheninvertiert. Die vollständige Auslöschung ist dabei ein Sonderfall gleicher Amplituden.
ψ = (A₁ + A₂) sin θAΣ = A₁ + A₂
Beide Beiträge zeigen gleichzeitig in dieselbe Feldrichtung. Die resultierende Amplitude ist die Summe beider Einzelamplituden.
ψ = (A₁ − A₂) sin θAΣ = |A₁ − A₂|
Die Beiträge zeigen entgegengesetzt. Nur wenn A₁ = A₂ gilt, verschwindet das resultierende Feld vollständig.
Keine Vernichtung von Energie durch Algebra:
Die lineare Feldsumme kann lokal null sein. Eine quadratische Messgröße enthält jedoch einen Kreuzterm. Woher Energie kommt oder wohin sie fließt, hängt von Quellen, Geometrie und Randbedingungen ab; die Feldaddition allein ersetzt keine Energiebilanz.
03 · Quadratische Observable
Der Kreuzterm macht die Interferenz messbar
Für eine zeitlich gemittelte quadratische Observable Q ∝ ⟨ψ²⟩ entsteht zusätzlich zu den beiden Einzelbeiträgen ein Interferenzterm. K02 benötigt davon nur die beiden Extremwerte cos Δφ = ±1.
Q ∝ ½(A₁² + A₂² + 2A₁A₂ cos Δφ)Qcross ∝ A₁A₂ cos Δφ
Der Kreuzterm ist positiv bei konstruktiver und negativ bei destruktiver Interferenz.
Q ∝ ½(A₁ + A₂)²
Maximaler positiver Kreuzterm.
Q ∝ ½(A₁ − A₂)²
Maximal negativer Kreuzterm; bei A₁ = A₂ wird Q = 0.
04 · Interactive Lab
Interference Extremes Lab
Stelle die beiden Amplituden ein und schalte zwischen Δφ = 0 und Δφ = π. Die Einzelwellen bleiben kohärent; die resultierende Kurve, die Amplitudenbilanz und die quadratische Observable reagieren unmittelbar.
Kohärente Wellenψ₁, ψ₂ und ψ₁ + ψ₂
läuft
ψ₁ψ₂ψ
k1.963rad/m
ω3.927rad/s
AΣ1.600Feldamplitude
Δφ0rad
AmplitudenbilanzSumme oder Differenz?
A₁0.800
A₂+0.800
A₁ ± A₂+1.600
Quadratische ObservableKreuzterm sichtbar machen
Q ∝ ½(A₁² + A₂² + 2A₁A₂ cos Δφ)Qcross ∝ A₁A₂ cos Δφ
Q₁ + Q₂0.640
Kreuzterm+0.640
Q gesamt1.280
konstruktiv · maximal positive Kreuzkopplung
Gleichphasige Wellen verstärken sich
Mit Δφ = 0 addieren sich die Amplituden direkt. Bei gleichen A₁ und A₂ ist die resultierende Feldamplitude doppelt so groß wie jede Einzelamplitude.
05 · Was K02 noch nicht macht
Die Extremfälle sind nur zwei Punkte auf einem kontinuierlichen Phasenkreis
K02 isoliert Verstärkung und Abschwächung. Die allgemeine resultierende Amplitude für beliebiges Δφ wird erst in K03 geometrisch und analytisch entwickelt.
Ohne stabile relative Phasenlage mittelt sich der Kreuzterm über lange Beobachtungszeiten typischerweise weg.
Bei Δφ = π bleibt die Differenz |A₁ − A₂|. Vollständige Auslöschung verlangt zusätzlich A₁ = A₂.
K03 ersetzt die binäre Auswahl 0/π durch eine kontinuierliche Phasendifferenz und leitet die allgemeine Resultante her.
06 · K02 in vier Aussagen
Interferenz ist lineare Feldaddition plus relative Phasenlage
Gleiche k und ω halten die relative Lage der beiden harmonischen Beiträge konstant.
Bei Δφ = 0 gilt AΣ = A₁ + A₂.
Bei Δφ = π gilt AΣ = |A₁ − A₂|; null nur bei gleichen Amplituden.
Quadratische Observablen enthalten einen positiven oder negativen Interferenzterm.
Rückbezug: M03K01 · Superposition principle liefert die lineare Summe; M02K06 · Energy transport liefert die Energiebilanz, die von der bloßen Feldaddition getrennt werden muss.
M03 · K03
Phase difference
Zwischen vollständiger Verstärkung und vollständiger Gegenphase liegt ein kontinuierlicher Phasenraum. Für zwei kohärente harmonische Wellen bestimmt die relative Phase nicht nur die resultierende Amplitude, sondern auch die Phase der resultierenden Welle selbst.
01 · Relative Phase
Nur die Differenz der Phasen steuert die Interferenz
Eine gemeinsame Verschiebung beider Wellen in der Phase ändert ihre relative Lage nicht. Deshalb ist für Interferenz die Differenz Δφ = φ₂ − φ₁ die zentrale Größe.
ψ₁ = A₁ sin θ
Die erste Welle definiert hier die Phasenreferenz. Ihre absolute Phase kann beliebig gewählt werden.
ψ₂ = A₂ sin(θ + Δφ)
Die zweite Welle besitzt dieselbe Frequenz und Wellenzahl, aber eine konstante relative Phasenverschiebung.
Δφ ≡ φ₂ − φ₁Δφ ≡ Δφ + 2πn
Phasenlagen, die sich um ganzzahlige Vielfache von 2π unterscheiden, beschreiben dieselbe relative Geometrie.
02 · Phasor-Geometrie
Die allgemeine Resultante ist eine Vektorsumme
Schreibt man die harmonischen Amplituden als Phasoren, wird die kontinuierliche Interferenz zu einfacher Geometrie in der komplexen Ebene.
Komplexe Amplitude
à = A₁ + A₂eiΔφAΣ = |Ã|
Der Betrag des Summenphasors ist die resultierende Feldamplitude. Seine Richtung ist die Phasenverschiebung δ der Resultante relativ zu ψ₁.
AΣ = √(A₁² + A₂² + 2A₁A₂ cos Δφ)δ = atan2(A₂ sin Δφ, A₁ + A₂ cos Δφ)
03 · Phase aus Wegdifferenz
Ein zusätzlicher Weg wird zu einem Phasenwinkel
Für zwei gleichfrequente Wellen im selben homogenen Medium kann eine reine Wegdifferenz Δx in eine Phasendifferenz übersetzt werden. Entscheidend ist das Verhältnis der Wegdifferenz zur Wellenlänge.
Δφ = kΔx = 2π Δx/λ
Eine zusätzliche Strecke λ entspricht genau einer zusätzlichen Phase von 2π und damit wieder derselben relativen Phasenlage.
Δx = λ/2 ⇒ Δφ = π
Die Beiträge erreichen den Beobachtungspunkt gegenphasig — der destruktive Grenzfall aus K02.
Δx = λ/4 ⇒ Δφ = π/2
Die Phasoren stehen senkrecht aufeinander; der zeitgemittelte Kreuzterm ist dann null.
Modellgrenze
Δφ = kΔx gilt so nur für eine reine Wegdifferenz bei gemeinsamem k. Quellen können zusätzliche Anfangsphasen besitzen; Reflexionen oder Grenzflächen können weitere Phasensprünge erzeugen.
04 · Interactive Lab
Phase & Phasor Lab
Variiere Δφ kontinuierlich von −π bis +π. Die Wellenkurven, der Summenphasor, die resultierende Amplitude und der Kreuzterm bleiben synchron gekoppelt.
Kohärente WellenKontinuierliche Phasenverschiebung
läuft
ψ₁ψ₂ψ
k1.963rad/m
ω3.927rad/s
AΣ1.140Resultante
Δφπ/2relativ
Δx0.800 mäquivalent
Phasor planeA₁ + A₂eiΔφ
Δφ90°
AΣ1.140
δ37.9°
Quadratische Observablecos Δφ steuert den Kreuzterm
Q ∝ ½(A₁² + A₂²) + A₁A₂ cos ΔφQ = ½AΣ²
cos Δφ0.000
Q₁ + Q₂0.650
Kreuzterm+0.000
Q gesamt0.650
Δφ = π/2 · Quadratur
Bei 90° verschwindet der zeitgemittelte Kreuzterm
Die Felder überlagern sich weiterhin punktweise; nur der gemittelte Interferenzterm der hier betrachteten quadratischen Observable ist bei cos Δφ = 0 null.
05 · Was die Resultante enthält
Amplitude und Phase ändern sich gemeinsam
Die Summe zweier gleichfrequenter harmonischer Wellen ist wieder harmonisch. Ihre Amplitude und ihre Phasenlage folgen gleichzeitig aus derselben Phasorsumme.
ψ = AΣ sin(θ + δ)
Die Überlagerung bleibt bei gemeinsamer ω und k eine einzelne harmonische Welle.
AΣ² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂ cos Δφ
Die K02-Extremfälle sind die Spezialwerte cos Δφ = +1 und −1.
δ = atan2(A₂ sin Δφ, A₁ + A₂ cos Δφ)
Bei AΣ = 0 ist δ nicht definiert, weil ein Nullvektor keine Richtung besitzt.
06 · Modellgrenzen
Konstantes Δφ setzt Kohärenz voraus
K03 betrachtet eine stationäre relative Phasenlage. Sobald die Frequenzen verschieden sind, driftet Δφ mit der Zeit und die Interferenzhülle beginnt zu schlagen — das ist K09.
Nur dann bleibt eine vorgegebene relative Phase über die Zeit konstant.
Die einfache Wegdifferenzformel verwendet denselben Wellenvektorbetrag für beide Beiträge.
K04 lässt zwei kohärente Wellen in entgegengesetzte Richtungen laufen. Dann wird die relative Phase ortsabhängig und es entsteht eine stehende Welle.
07 · K03 in vier Aussagen
Phasendifferenz ist Geometrie, nicht nur ein Zeitversatz
Für Interferenz zählt Δφ, nicht die gemeinsame absolute Phase.
Δφ und Δφ + 2πn beschreiben dieselbe relative Phasenlage.
Amplitude und resultierende Phase folgen aus der komplexen Vektorsumme.
In einem homogenen Medium gilt für reine Wegdifferenz Δφ = 2πΔx/λ.
Rückbezug: M03K02 · Constructive and destructive interference sind die Grenzfälle Δφ = 0 und π. M02K04 · Phase and phase velocity liefert die lokale Phasendefinition der einzelnen Welle.
M03 · K04
Standing waves
Zwei kohärente Wellen gleicher Amplitude, Wellenzahl und Frequenz können sich in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten, ohne dass ihre Summe selbst fortschreitet. Die Überlagerung zerfällt dann in einen festen räumlichen Faktor und eine gemeinsame zeitliche Schwingung: eine stehende Welle.
01 · Zwei gleich starke Gegenläufer
Fortschreitende Komponenten können eine nicht fortschreitende Summe bilden
Wir betrachten zwei harmonische Lösungen mit gleicher Amplitude A, gleicher Wellenzahl k und gleicher Kreisfrequenz ω. Nur ihre Ausbreitungsrichtung ist entgegengesetzt; φ verschiebt das stehende Muster räumlich.
ψ→ = A sin(kx − ωt)
Eine gewöhnliche fortschreitende Welle mit Phasengeschwindigkeit c = ω/k.
ψ← = A sin(kx + ωt + φ)
Gleiche A, k und ω, aber entgegengesetztes Vorzeichen vor ωt.
ψ = ψ→ + ψ←ψ = 2A sin(kx + φ/2) cos(ωt + φ/2)
Die Orts- und Zeitabhängigkeit separieren sich vollständig.
02 · Kennzeichen einer stehenden Welle
Die räumliche Struktur bleibt fest — nur ihre Auslenkung atmet
Im Produkt ψ(x,t) = S(x)C(t) steckt kein Term der Form kx − ωt, der ein Profil als Ganzes durch den Raum transportiert. Jeder Ort behält deshalb seine feste Schwingungsamplitude.
S(x) = 2A sin(kx + φ/2)
Er legt die ortsabhängige Schwingungsamplitude und deren Vorzeichen fest. Seine Nullstellen bleiben für alle Zeiten am selben Ort.
C(t) = cos(ωt + φ/2)
Alle nicht verschwindenden Punkte schwingen mit derselben Frequenz f = ω/(2π), aber benachbarte Bereiche können um π gegeneinander invertiert sein.
vpattern = 0
Die beiden Komponenten laufen weiterhin mit ±c; nur ihre Interferenzstruktur steht. Das ist nicht dasselbe wie eine einzelne Welle mit c = 0.
03 · Energiefluss
Stehend bedeutet nicht „energetisch eingefroren“
Für zwei ideale Gegenläufer gleicher Amplitude sind ihre entgegengesetzten zeitgemittelten Leistungsflüsse gleich groß. Der gerichtete Nettofluss verschwindet, obwohl lokal weiterhin Energie zwischen verschiedenen Speicherformen oszilliert.
⟨P→⟩ + ⟨P←⟩ = 0aber u(x,t) ≠ konstant
Die Aussage gilt für das ideale verlustfreie Gleichamplituden-Modell. Unterschiedliche Gegenlaufamplituden erzeugen zusätzlich einen verbleibenden fortschreitenden Anteil.
04 · Interactive Lab
Standing Wave Lab
Verfolge beide Gegenläufer getrennt und ihre Summe gleichzeitig. Die warmen Hüllkurven bleiben ortsfest; der Probe-Plot zeigt, dass jeder gewählte Ort nur mit seiner lokalen Amplitude S(x*) harmonisch in der Zeit schwingt.
Field viewZwei Gegenläufer + stehende Summe
läuft
ψ→ψ←ψ±|S(x)|feste Nullstellen
k1.963 rad/m
ω3.927 rad/s
f0.625 Hz
T1.600 s
S(x*)1.600
Probe traceLokale Zeitbewegung bei x*
|S(x*)|1.600
ψ(x*,t)1.600
lokale Phase0
FaktorzerlegungWarum das Muster steht
ψ(x,t) = S(x) C(t)S(x) = 2A sin(kx + φ/2)C(t) = cos(ωt + φ/2)
φ/20°
Knotenabstand1.600 m
Mustergeschwindigkeit0 m/s
⟨Pnet⟩ ideal0
Reine stehende Welle · Muster ortsfest
Die Gegenläufer bewegen sich — die Summe nicht
Beide Komponenten laufen mit |c| = 2.00 m/s in entgegengesetzte Richtungen. Ihre Summe besitzt dagegen eine feste räumliche Amplitudenstruktur S(x).
05 · Modellgrenzen
Eine reine stehende Welle verlangt Symmetrie der Gegenläufer
K04 konstruiert die ideale stehende Welle direkt aus zwei gleich starken Gegenläufern. Reale Resonatoren erzeugen diese Situation über Reflexionen und Randbedingungen; diese Mechanismen werden erst später im Modul systematisiert.
Nur dann heben sich die zeitgemittelten gerichteten Leistungsflüsse exakt auf. Bei ungleichen Amplituden bleibt ein fortschreitender Nettoanteil.
Unterschiedliche Frequenzen erzeugen kein stationäres räumliches Muster; ihre relative Lage driftet mit der Zeit.
K04 nimmt die Gegenläufer als gegeben an. Welche Muster durch feste, freie oder gemischte Ränder erlaubt sind, folgt in K06.
06 · K04 in vier Aussagen
Stehende Wellen sind Interferenz zweier fortschreitender Gegenläufer
Die Komponenten besitzen gleiche A, k und ω, aber entgegengesetzte Ausbreitungsrichtungen.
Die Summe zerfällt in einen festen Ortsfaktor S(x) und einen gemeinsamen Zeitfaktor C(t).
Nullstellen und Amplitudenhülle wandern nicht mit der Zeit, obwohl beide Einzelwellen weiterlaufen.
Im idealen Gleichamplitudenfall verschwindet nur der zeitgemittelte gerichtete Netto-Energiefluss — nicht die lokale Energiedynamik.
Rückbezug: M03K01 · Superposition principle erlaubt die Summe; M03K03 · Phase difference liefert den Phasenbegriff; M02K06 · Energy transport liefert die Bedeutung des gerichteten Leistungsflusses.
M03 · K05
Nodes and antinodes
K04 hat gezeigt, dass eine ideale stehende Welle einen festen Ortsfaktor besitzt. K05 liest dessen Geometrie aus: Knoten sind dauerhafte Nullstellen, Bäuche sind Orte maximaler Schwingungsamplitude. Ihre Abstände sind durch die Wellenlänge festgelegt.
01 · Nullstellen und Maxima
Knoten und Bäuche sind Eigenschaften des räumlichen Faktors
Für die in K04 verwendete stehende Welle trennt sich die Lösung in einen Orts- und einen Zeitfaktor. Die maximale lokale Schwingungsamplitude ist daher allein durch |S(x)| bestimmt.
ψ(x,t)=S(x)C(t)S(x)=2A sin(kx+φ/2)
Die Zeitabhängigkeit ändert die momentane Auslenkung, aber nicht die Orte von Nullstellen und Maxima des Ortsfaktors.
S(xₙ)=0xₙ=(nπ−φ/2)/k
An einem idealen Knoten ist ψ(xₙ,t)=0 für alle Zeiten. Der Ort selbst schwingt nicht.
|S(xₐ)|=2Axₐ=((n+1/2)π−φ/2)/k
An einem Bauch ist die lokale Schwingungsamplitude maximal. Das Vorzeichen von S legt nur die lokale Phase fest.
02 · Abstände
Die Geometrie skaliert direkt mit λ
Mit k=2π/λ ergeben sich zwei elementare Abstände. Die Gegenlaufphase φ verschiebt das gesamte Muster, ändert diese Abstände aber nicht.
Benachbarte Nullstellen des Ortsfaktors liegen eine halbe Wellenlänge auseinander.
Auch benachbarte Amplitudenmaxima wiederholen sich nach einer halben Wellenlänge.
Zwischen einer Nullstelle und dem nächstgelegenen Maximum liegt genau ein Viertel der Wellenlänge.
03 · Lokale Phase
Benachbarte Schwingungsbäuche sind um π phasenverschoben
Zwischen zwei benachbarten Knoten besitzt S(x) ein konstantes Vorzeichen. Beim Überschreiten eines Knotens wechselt dieses Vorzeichen: Punkte in benachbarten Bäuchen bewegen sich deshalb gleichzeitig in entgegengesetzte Richtungen.
Zwei Punkte innerhalb desselben Knotensegments besitzen denselben Zeitfaktor und dasselbe Vorzeichen von S(x).
Der Vorzeichenwechsel von S(x) entspricht einer lokalen Phasenumkehr um π.
Bei exakt null Amplitude gibt es keine beobachtbare lokale Schwingungsphase.
04 · Interactive Lab
Node & Antinode Geometry Lab
Verändere Wellenlänge und Gegenlaufphase und beobachte, wie das gesamte Muster verschoben oder skaliert wird. Die Marker werden direkt aus den analytischen Knoten- und Bauchpositionen berechnet.
Spatial geometryKnoten, Bäuche und momentane Auslenkung
Δx N→N1.600 m
ψ(x,t)±|S(x)|KnotenBäuche
k1.963 rad/m
f0.625 Hz
N→N1.600 m
N→A0.800 m
|S(x*)|1.600
Geometry rulerNächster Knoten und Bauch zur Probe
|x*−xₙ|0.000 m
|x*−xₐ|0.800 m
Local phaseVorzeichen des Ortsfaktors
Probe liegtim Bauchsegment
Innerhalb eines Knotensegments schwingen alle Punkte lokal gleichphasig.
S(x*)1.600
ψ(x*,t)1.600
lokale Phase0
Knoten und Bäuche sind ortsfest
Die Zeit ändert nur die momentane Auslenkung. Die aus S(x) berechneten Knoten und Bäuche bleiben an denselben x-Positionen.
05 · Modellgrenzen
Knoten sind hier Interferenznullen — noch keine erzwungenen Randwerte
Das gesamte Muster darf durch φ entlang x verschoben werden. Erst K06 legt Ränder fest und entscheidet damit, welche Knoten- oder Bauchlagen an den Grenzen zulässig sind.
Nur dann sind die Knoten exakt und zeitlich stationär. Ungleiche Amplituden erzeugen Minima statt echter Nullstellen.
Eine Änderung von φ verschiebt Knoten und Bäuche, ohne λ/2- oder λ/4-Abstände zu verändern.
K05 beschreibt die Geometrie einer gegebenen stehenden Welle. Zulässige diskrete Muster folgen erst aus Randbedingungen.
06 · K05 in vier Aussagen
Knoten und Bäuche lesen die feste Raumstruktur der stehenden Welle aus
S(x)=0 ⇒ ψ=0 für alle Zeiten.
|S|=2A ⇒ maximale lokale Schwingungsamplitude.
N→N und A→A: λ/2; N→A: λ/4.
Benachbarte Bäuche sind um π gegeneinander phasenverschoben.
Rückbezug: M03K04 · Standing waves liefert S(x). Vorausblick: M03K06 · Boundary-defined modes fixiert Randwerte und damit zulässige Knoten-/Bauchlagen.
M03 · K06
Boundary-defined modes
K05 ließ das stehende Muster noch frei entlang x verschieben. Physikalische Enden nehmen diese Freiheit weg: ein fester Rand erzwingt die Auslenkung null, ein ideal freier Rand die räumliche Steigung null. Nur bestimmte Raumformen erfüllen beide Endbedingungen gleichzeitig.
01 · Randbedingungen
Der Rand entscheidet, was die Raumfunktion dort tun darf
Wir schreiben die stehende Lösung separiert als ψ(x,t)=X(x)T(t). Für die Modenauswahl genügt zunächst X(x). Ein idealer fester und ein idealer freier Saitenrand stellen unterschiedliche mathematische Bedingungen.
X = 0ψ = 0 für alle t
Das Ende kann sich transversal nicht bewegen. Für eine Saite ist der feste Rand daher zwingend ein Knoten der Mode.
X′ = 0∂ψ/∂x = 0
Am ideal freien Ende verschwindet die transversale Kraftkomponente. In diesem einfachen Saitenmodell liegt dort für nichttriviale Moden ein Bauch.
02 · Auswahlregel
Zwei Endbedingungen quantisieren kL
Im Inneren gilt X″+k²X=0. Der linke Rand wählt eine Sinus- oder Kosinusbasis; der rechte Rand lässt davon nur diskrete k-Werte übrig.
Xₙ(x)=sin(nπx/L)kₙL=nπλₙ=2L/n
Zwischen zwei festen Enden müssen exakt n halbe Wellenlängen in die Länge L passen.
n = 1, 2, 3, …Xₙ(x)=cos(nπx/L)kₙL=nπλₙ=2L/n
Die oszillatorischen Moden besitzen dieselbe k-Quantisierung wie fest–fest, aber andere Endgeometrie.
n = 1, 2, 3, …kₙL=(n−1/2)πλₙ=4L/(2n−1)
Bei einem festen und einem freien Ende passen ungerade Viertelwellen in L. Die Orientierung entscheidet nur, ob links Sinus oder Kosinus startet.
n = 1, 2, 3, …Sonderfall frei–frei: Zusätzlich existiert k=0 als starre Translation der gesamten Saite. Dieser Nullmodus ist keine räumlich oszillierende Welle und wird im Lab nicht als n=0-Wellenmode geführt.
03 · Von K05 zu K06
Die Randphase ist nicht mehr frei wählbar
K05 konnte das Knoten-/Bauchmuster über eine Phase φ beliebig verschieben. Sobald beide Ränder vorgegeben sind, muss die räumliche Phase so liegen, dass die geforderten Knoten oder Steigungsnullen genau an x=0 und x=L sitzen.
Eine gegebene stehende Welle kann entlang x verschoben werden; Knotenabstand λ/2 und Knoten–Bauch-Abstand λ/4 bleiben dabei unverändert.
Die Enden fixieren die Lage des Musters und erlauben nur jene k, deren Raumform beide Randbedingungen zugleich erfüllt.
04 · Interactive Lab
Boundary Mode Selector Lab
Wähle Endbedingungen und Modenzahl. Mit Δ(kL/π) kannst du die Raumform gezielt vom erlaubten Gitter wegschieben: der linke Rand bleibt konstruktiv erfüllt, am rechten Rand erscheint sofort das Residuum.
Raumform und Momentaufnahmefest–fest
Geometrische BedingungL = 2 · λ/2
Raumform X(x)ψ(x,θ)=X(x) cos θRandbedingung
kL/π2.000
λ Kandidat2.000 m
max. Randresiduum0
linker Randkonstruktiv erfüllt
Frequenz→ K07
Erfüllt der Kandidat beide Enden?
linksX(0)=0 erfüllt
rechtsX(L)=0 erfüllt
Das Residuum ist normiert: bei einem festen Rand wird |X|/A geprüft, bei einem freien Rand |X′|/(Ak). Nur null erfüllt die ideale Bedingung exakt.
Beide Randbedingungen selektieren diese Raumform
Für fest–fest liegt kL exakt auf dem zulässigen Gitterwert 2π. Die Randbedingungen sind gleichzeitig erfüllt; die Wellenlänge ist geometrisch festgelegt.
05 · Modellgrenzen
K06 quantisiert die Geometrie — noch nicht die gesamte Resonatorphysik
Das Kapitel benutzt die ideale homogene 1D-Saite und perfekte feste/freie Enden. Damit wird die Logik der Modenauswahl isoliert, bevor Frequenzen, Resonatoranregung und reale Verluste hinzukommen.
Schichtungen, Impedanzsprünge und verlustbehaftete Ränder gehören in M04 und spätere Kapitel.
Reale Aufhängungen besitzen endliche Impedanz und können zwischen diesen Grenzfällen liegen.
K06 liefert zulässige k. K07 koppelt diese über die Dispersionsrelation an diskrete Eigenfrequenzen.
06 · K06 in vier Aussagen
Randbedingungen machen aus kontinuierlichen stehenden Mustern diskrete Modenfamilien
X=0 erzwingt einen Knoten am Rand.
X′=0 erzwingt im idealen Saitenmodell eine Steigungsnull.
Beide Enden zusammen erlauben nur diskrete Werte von kL.
K06 bestimmt Xₙ und kₙ; K07 macht daraus fₙ.
Rückbezug: M03K05 · Nodes and antinodes liefert Knoten-/Bauchgeometrie. Vorausblick: M03K07 · Eigenfrequencies koppelt die zulässigen k-Werte an die zeitliche Dynamik. Später: M04K01 · Boundary conditions verallgemeinert Randbedingungen auf Reflexion, Impedanz und Medienübergänge.
M03 · K07
Eigenfrequencies
K06 hat aus den Randbedingungen diskrete räumliche Wellenzahlen kₙ erhalten. Jetzt kommt die zeitliche Dynamik hinzu: jede zulässige Raumform wird über die Dispersionsrelation auf eine eigene Kreisfrequenz ωₙ und damit auf eine Eigenfrequenz fₙ abgebildet.
01 · Raum und Zeit
Eine Mode besitzt eine Raumform und eine eigene Zeitfrequenz
Für die ideale eindimensionale Wellengleichung ψtt=c²ψxx wird die separierte Lösung ψₙ(x,t)=Xₙ(x)Tₙ(t) eingesetzt. Dasselbe Trennparameterpaar verknüpft dann das räumliche und das zeitliche Eigenproblem.
Xₙ″ + kₙ²Xₙ = 0boundary conditions → kₙ
Die Endbedingungen entscheiden, welche räumlichen Muster überhaupt zulässig sind.
Tₙ″ + ωₙ²Tₙ = 0Tₙ = C cos(ωₙt+δ)
Die Mode bleibt räumlich dieselbe, während ihr Amplitudenfaktor harmonisch in der Zeit oszilliert.
ωₙ = Ω(kₙ)fₙ = ωₙ / 2π
Im ideal nondispersiven Wellenmodell gilt Ω(k)=ck und damit direkt ωₙ=ckₙ.
02 · Diskretes Spektrum
Die Randfamilie entscheidet über die Frequenzleiter
Für Ω(k)=ck übernimmt das Frequenzspektrum exakt die in K06 gefundene k-Quantisierung. Gleiche Endtypen liefern ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz; gemischte Enden nur ungerade Vielfache.
kₙ = nπ/Lfₙ = n c/(2L)fₙ = n f₁
Benachbarte oszillatorische Moden liegen um Δf=c/(2L) auseinander.
n = 1, 2, 3, …kₙ = (n−1/2)π/Lfₙ = (2n−1)c/(4L)fₙ = (2n−1)f₁
Die Grundfrequenz ist halb so groß wie bei gleichen Endtypen; die nächste Mode liegt bei 3f₁, dann 5f₁ usw.
n = 1, 2, 3, …ωₙ = Ω(kₙ)fₙ = Ω(kₙ)/(2π)
Ist Ω(k) nicht linear, bleibt k diskret, aber die Frequenzabstände müssen weder konstant noch ganzzahlige Vielfache von f₁ sein.
→ M02K08 · DispersionFrei–frei Nullmode: Im hier verwendeten nondispersiven Zweig gilt Ω(0)=0; damit wird k=0 auf f=0 abgebildet. Das ist die bereits in K06 getrennte starre Translation ohne oszillatorische Rückstellbewegung; die nummerierten Wellenmoden beginnen weiterhin bei n=1.
03 · Skalierung
Länge und Ausbreitungsgeschwindigkeit verschieben das gesamte Spektrum
Im nondispersiven linearen Modell sind die Skalengesetze besonders transparent. Sie trennen Systemparameter von bloßer Darstellungsamplitude.
Verdopple die Systemlänge bei gleicher Randfamilie und gleichem c: alle Eigenfrequenzen halbieren sich.
Verdopple c bei gleicher Geometrie: das gesamte Eigenfrequenzspektrum verdoppelt sich.
Im linearen Modell ändert die Schwingungsamplitude die Eigenfrequenz nicht. Nichtlineare Systeme können davon abweichen.
Bei einer ideal gespannten Saite erhöhen größere Zugkraft T oder kleinere lineare Massendichte μ die Eigenfrequenzen über c.
04 · Interactive Lab
Eigenfrequency Spectrum Lab
Wähle Randfamilie, Länge, Wellengeschwindigkeit und Modenzahl. Das Lab zeigt gleichzeitig die zulässige Raumform, die lineare Abbildung f=ck/(2π) und die daraus entstehenden diskreten Spektrallinien. Die laufende Darstellungsphase ist bewusst verlangsamt; die numerischen Frequenzen sind Modellwerte, keine Echtzeit-Animation.
Eigenmoden=3 · fest–fest
Eigenfrequenz30.000 Hz
Raumform Xₙ(x)ψₙ(x,θ)Rand
kₙ2.356 rad/m
λₙ2.667 m
ωₙ188.496 rad/s
fₙ30.000 Hz
Periode33.33 ms
fₙ/f₁3
Dispersionsabbildungzulässige kₙ → diskrete fₙ
nondispersivf = ck / 2π
Grundfrequenz f₁10.000 Hz
Nachbarabstand Δf10.000 Hz
Spektralmuster1, 2, 3, … × f₁
A-Effekt auf fₙkeiner im linearen Modell
Die dritte Eigenmode liegt bei 30.000 Hz
Für fest–fest gilt k₃=3π/L. Die lineare Dispersionsrelation ordnet diesem k-Wert f₃=3c/(2L) zu. Die Amplitude ändert nur die Darstellung, nicht die Eigenfrequenz.
Was verschiebt dieses Spektrum?
L → 2Lfₙ → 0.5 fₙ
c → 2cfₙ → 2 fₙ
A geändertfₙ bleibt gleich
Die Darstellung trennt damit geometrische Auswahl, dynamische Abbildung und bloße Amplitudenskalierung.
05 · Eigenfrequenz ≠ Resonanz
Eigenfrequenzen existieren ohne Antrieb; Resonanz beschreibt die Antwort auf einen Antrieb
Diese Begriffe liegen nahe beieinander, sind aber nicht identisch. K07 bestimmt die freien Moden des Systems. Erst K08 fügt eine äußere Anregung hinzu und untersucht, wie stark das System bei verschiedenen Antriebsfrequenzen reagiert.
keine äußere Kraft
Gesucht werden nichttriviale freie Lösungen, die Dynamik und Randbedingungen gleichzeitig erfüllen.
ωₙ = Ω(kₙ)
Sie ist bereits definiert, bevor ein Antrieb gewählt wird.
drive frequency Ωd
Die Antwort hängt zusätzlich von Kopplung, Dämpfung und der Nähe des Antriebs zu den Eigenfrequenzen ab.
06 · Modellgrenzen
Harmonische Frequenzleitern sind eine Konsequenz der idealen linearen Dispersion
Die einfachen Formeln dieses Kapitels gelten für ein homogenes, lineares, nondispersives 1D-System mit idealen Endbedingungen. Die allgemeine Eigenwertlogik bleibt breiter gültig, die Spektralstruktur kann sich jedoch ändern.
Dann bleiben die kₙ durch die Geometrie diskret, aber die fₙ sind im Allgemeinen nicht äquidistant.
Endliche Impedanzen verschieben Moden gegenüber den idealen Dirichlet-/Neumann-Grenzfällen.
Die Amplitudenunabhängigkeit von fₙ ist eine Eigenschaft des linearen Modells, keine universelle Regel.
07 · K07 in vier Aussagen
Die Dynamik ordnet jeder räumlich ausgewählten Mode eine eigene Zeitfrequenz zu
K06 liefert die zulässigen räumlichen Wellenzahlen.
ωₙ=Ω(kₙ) verbindet Raum- und Zeitdynamik.
Für Ω=ck entstehen einfache harmonische Frequenzleitern.
Eigenfrequenz ist nicht dasselbe wie Resonanzantwort.
Rückbezug: M03K06 · Boundary-defined modes bestimmt Xₙ und kₙ. Vertiefung: M02K08 · Dispersion zeigt, warum Ω(k) gekrümmt sein kann. Vorausblick: M03K08 · Resonators fügt Anregung und Resonanzantwort hinzu.
M03 · K08
Resonators
Ein Resonator besitzt Eigenmoden auch ohne äußere Kraft. Wird eine dieser Moden periodisch angeregt, bestimmt nicht nur der Frequenzabstand zur Eigenfrequenz die Antwort, sondern auch Dämpfung und räumliche Kopplung des Antriebs an die Mode.
01 · Einmodenmodell
Nahe einer isolierten Mode verhält sich der Resonator wie ein gedämpft erzwungener Oszillator
Die räumliche Eigenfunktion Xₙ(x) aus K06/K07 bleibt erhalten; nur ihr modaler Zeitkoeffizient qₙ(t) wird durch eine äußere harmonische Kraft angetrieben.
q̈ₙ + 2ζωₙq̇ₙ + ωₙ²qₙ = aₙ cos(ωdt)ψₙ(x,t)=Xₙ(x)qₙ(t)
ζ ist der dimensionslose Dämpfungsgrad. ωₙ ist weiterhin die freie Eigenkreisfrequenz aus K07; ωd gehört zum äußeren Antrieb.
r ≡ ωd/ωₙ = fd/fₙ
r=1 bedeutet Antrieb bei der Eigenfrequenz. Die maximale Auslenkung liegt bei endlicher Dämpfung im Allgemeinen leicht darunter.
M(r,ζ)=1/√[(1−r²)²+(2ζr)²]δ=atan2(2ζr, 1−r²)
M ist die dynamische Vergrößerung relativ zur statischen modalen Auslenkung. δ ist die Phasenverzögerung gegenüber der effektiven modalen Anregung.
02 · Räumliche Kopplung
Eine Frequenz kann exakt passen und die Mode trotzdem kaum angeregt werden
Ein lokaler Punktantrieb koppelt an die Mode proportional zu ihrem lokalen Eigenfunktionswert. Für normierte Moden schreiben wir Γₙ=Xₙ(xd). Am idealen Knoten ist Γₙ=0: diese Mode erhält aus diesem Antrieb keine modale Kraft.
Die Mode wird maximal gekoppelt; ihre Resonanzkurve kann voll sichtbar werden.
Auch bei r=1 bleibt die ideale einmodige Antwort dieser Mode null. Frequenztreffer allein ist also keine hinreichende Resonanzbedingung.
Das Vorzeichen beschreibt die lokale Phase der Eigenfunktion. Für die Antwortgröße zählt |Γₙ|; die Phasenorientierung bleibt im Modenbild erhalten.
03 · Resonanzkurve
Dämpfung begrenzt die Verstärkung und verschiebt das Amplitudenmaximum
Für ζ>0 bleibt die stationäre Antwort endlich. Bei schwacher Dämpfung besitzt die Auslenkung ein Maximum bei r<1; die mittlere dissipierte Leistung erreicht ihr Maximum dagegen bei r=1.
Gilt für ζ<1/√2. Mit wachsender Dämpfung wird die Resonanzkurve flacher; für starke Dämpfung gibt es oberhalb der statischen Antwort kein ausgeprägtes Amplitudenmaximum.
Unterhalb der Eigenfrequenz folgt die Antwort dem Antrieb näher; oberhalb nähert sich die Verzögerung 180°.
Mit D²=(1−r²)²+(2ζr)² liegt die maximale dissipierte Leistung bei r=1. Das erklärt, warum verschiedene Resonanzkriterien unterschiedliche „Resonanzfrequenzen“ liefern können.
04 · Interactive lab
Resonator Response Lab
Wähle Modenfamilie, Modenindex, Dämpfung, Antriebsfrequenz und Antriebsort. Das Lab trennt räumliche Kopplung Γₙ von dynamischer Verstärkung M und zeigt parallel Antwortbetrag, Phase und dissipierte Leistung.
RaumkopplungMode n=3 · fest–fest
|Γₙ|0.707
fₙ30.000 Hz
fd28.800 Hz
Γₙ0.707
|Γₙ|M4.493
FrequenzantwortAmplitude · Phase · Leistung
r0.960
Amplitude peak rA0.994
Phase lag δ64.2°
norm. power4.38
Q≈1/(2ζ)6.25
Near resonance, strong modal coupling
Der Antrieb liegt nahe fₙ und trifft die Mode abseits eines Knotens. Dämpfung begrenzt die dynamische Verstärkung; das Amplitudenmaximum liegt geringfügig unter fₙ.
Eigenfrequenzr=1
Amplitude maximumr=0.994
Power maximumr=1
„Die Resonanzfrequenz“ ist ohne Angabe des beobachteten Antwortmaßes nicht vollständig spezifiziert.
05 · Modellgrenzen
Das Einmodenmodell isoliert Resonanz — reale Systeme können mehrere Moden gleichzeitig koppeln
Die Darstellung setzt Linearität, stationäre harmonische Anregung und eine dominierende Mode voraus. Bei dicht liegenden Eigenfrequenzen, nichtproportionaler Dämpfung oder starker Nichtlinearität reicht dieses Modell nicht mehr.
Ein realer Punktantrieb projiziert grundsätzlich auf alle Moden mit Γₙ≠0. K10 behandelt diese modale Zerlegung systematisch.
Das Lab zeigt die stationäre Antwort nach Abklingen der freien Transienten.
Amplitudeabhängige Steifigkeit kann Frequenzverschiebung, Hysterese und Mehrdeutigkeit erzeugen; das liegt außerhalb des linearen K08-Modells.
06 · K08 in vier Aussagen
Resonanz ist keine neue Eigenfrequenz, sondern die frequenzselektive erzwungene Antwort vorhandener Moden
ωₙ und Xₙ stammen aus dem freien System.
Γₙ=Xₙ(xd) entscheidet, wie stark der Antrieb diese Mode überhaupt erreicht.
ζ begrenzt und verbreitert die Resonanzantwort.
Amplitude und Leistungsaufnahme können unterschiedliche Resonanzlagen definieren.
Rückbezug: M03K07 · Eigenfrequencies liefert fₙ und die Eigenmoden. Vorausblick: M03K09 · Beats untersucht die zeitliche Hüllkurve nahe beieinanderliegender Frequenzen; M03K10 · Modal decomposition verallgemeinert die Antwort auf mehrere Moden.
M03 · K09
Beats
Zwei nahe Frequenzen erzeugen keine neue Eigenmode: ihre relative Phase driftet stetig. Dadurch wächst und schrumpft die resultierende Amplitude periodisch — eine Schwebung mit der Differenzfrequenz.
01 · Zwei nahe Frequenzen
Die Phasendifferenz ist nicht konstant, sondern wächst mit 2πΔf·t
Für zwei harmonische Beiträge ψ₁=A₁ cos(2πf₁t+φ₁) und ψ₂=A₂ cos(2πf₂t+φ₂) bleibt die lineare Summe exakt. Neu gegenüber K03 ist, dass bei f₁≠f₂ die relative Phase selbst eine Dynamik besitzt.
trägt die schnelle Oszillation
Bei nahe beieinanderliegenden Frequenzen ist f̄ die natürliche Trägerfrequenz der Darstellung.
Δφ(t)=2πΔf·t+Δφ₀
Die relative Phase durchläuft konstruktive und destruktive Lagen mit konstanter Winkelrate.
Tbeat=1/|Δf|
Die Maxima der beobachtbaren Amplitudenhüllkurve wiederholen sich einmal pro Beat-Periode.
02 · Gleiche Amplituden
Die Summe faktorisiert exakt in schnelle Trägerschwingung und langsamen Vorfaktor
Für A₁=A₂=A und symmetrisch gewählte Anfangsphasen gilt eine exakte trigonometrische Identität. „Langsam“ ist der Vorfaktor dann, wenn |Δf|≪f̄.
ψ(t)=2A cos(πΔf·t+Δφ₀/2) cos(2πf̄·t)
Der erste Cosinus ist ein signierter Vorfaktor. Sein Vorzeichenwechsel entspricht einer π-Phasenumkehr des schnellen Trägers.
Durch den Betrag wiederholen sich die Hüllkurvenmaxima mit |Δf| — obwohl der signierte Cosinus selbst die Frequenz |Δf|/2 besitzt.
Dann kann R(t)=0 werden. Genau am Nullpunkt springt die effektive Trägerphase um π.
03 · Ungleiche Amplituden
Die allgemeine Hüllkurve folgt direkt aus der Phasorgeometrie
Für A₁≠A₂ ist die einfache Produktform nicht mehr ausreichend. Die momentane Resultantenamplitude ergibt sich jedoch exakt aus der Länge der Summe zweier rotierender Phasoren.
R(t) ist die positive Amplitudenhüllkurve der Summe im mit f̄ rotierenden Bezugssystem.
Konstruktive Lage: die beiden Phasoren zeigen in dieselbe Richtung.
Destruktive Lage: vollständige Nullstellen existieren nur bei gleichen Amplituden.
04 · Interactive Lab
Beat Envelope Lab
Verändere Mittelfrequenz, Frequenzabstand, Amplituden und Anfangsphase. Der Zeitplot zeigt beide Komponenten, ihre Summe und die exakte ±R(t)-Hüllkurve; die Phasorgrafik macht dieselbe Dynamik geometrisch sichtbar.
ZeitbereichSumme und Hüllkurve
fbeat1.20 Hz
ψ₁ψ₂ψ₁+ψ₂±R(t)
f₁17.40 Hz
f₂18.60 Hz
Tbeat0.833 s
R(t)0.50
Relative PhasorgeometrieΔφ(t) bestimmt R(t)
Δφ151°
Klare Schwebung mit vollständigen Minima
Gleiche Amplituden erlauben periodische Nullstellen der Hüllkurve. Die Maxima wiederholen sich mit |Δf|=1.20 Hz.
Rmax2.00
Rmin0.00
Modulationstiefe100%
|Δf|/f̄0.067
05 · Interpretation & Modellgrenzen
Schwebung ist lineare Interferenz — keine Energieerzeugung und keine zusätzliche Spektrallinie
Im ideal linearen Modell enthält die Summe weiterhin nur die beiden ursprünglichen Frequenzen f₁ und f₂. Die langsame Hüllkurve entsteht aus ihrer zeitlich driftenden relativen Phase.
fbeat beschreibt die Hüllkurvenwiederholung; sie ist nicht automatisch eine neue Fourier-Komponente des linearen Summensignals.
Die Formeln sind exakt. Erst die anschauliche Träger–Hüllkurven-Trennung verlangt |Δf| deutlich kleiner als f̄.
Erst nichtlineare Mischung kann Summen-/Differenzfrequenzen als echte zusätzliche Spektralkomponenten erzeugen; das ist ein anderes Phänomen.
06 · K09 in vier Aussagen
Beats sind die Zeitdomänen-Signatur einer laufenden relativen Phase zwischen zwei Frequenzkomponenten
Bei f₁≠f₂ wächst die relative Phase mit 2πΔf·t.
Die Hüllkurvenmaxima wiederholen sich mit der Frequenzdifferenz.
Nur gleich große Beiträge können sich an den Minima vollständig auslöschen.
Lineare Überlagerung erzeugt keine zusätzliche Spektralkomponente bei fbeat.
Rückbezug: M03K03 · Phase difference liefert die Phasorgeometrie; M03K08 · Resonators erklärt, wie nahe Frequenzkomponenten in realen Systemen entstehen können. Vorausblick: M03K10 · Modal decomposition verallgemeinert die Überlagerung von zwei auf viele Moden.
M03 · Superposition & Modes · K10
Modal decomposition
Ein lineares begrenztes System kann seine Bewegung in unabhängige Eigenmoden zerlegen. Die Moden bilden eine räumliche Basis; ihre zeitabhängigen Koeffizienten sind die dynamischen Koordinaten des Systems.
01 · Eigenbasis
Orthogonalität macht aus einem Feldproblem viele skalare Koordinaten
Für einen selbstadjungierten linearen Wellenoperator können die Eigenfunktionen orthogonal gewählt werden. Dann koppeln sich verschiedene Moden im idealen linearen Problem nicht gegenseitig.
Die räumliche Form steckt in Xₙ(x), die Zeitentwicklung in qₙ(t).
Bei kontinuierlichen Systemen ist das Skalarprodukt typischerweise ein Integral, gegebenenfalls mit Massendichte als Gewicht.
Jeder Koeffizient misst, wie stark der Anfangszustand in Richtung der n-ten Eigenmode zeigt.
02 · Beispiel: fest–fest gespannte Saite
Die K06/K07-Moden werden zur Fourier-Sinus-Basis
Für u(0,t)=u(L,t)=0 gilt Xₙ(x)=sin(nπx/L) und ωₙ=nπc/L. Anfangsauslenkung und Anfangsgeschwindigkeit bestimmen zwei unabhängige Koeffizientensätze.
Xₙ(x)=sin(nπx/L)
Jede Basisfunktion erfüllt beide festen Randbedingungen exakt.
aₙ=(2/L)∫₀ᴸu₀(x)sin(nπx/L)dx
Die Orthogonalität isoliert jeden einzelnen Modenanteil.
bₙ=(2/Lωₙ)∫₀ᴸv₀(x)sin(nπx/L)dx
Mit beiden Datensätzen gilt qₙ(t)=aₙcosωₙt+bₙsinωₙt.
Wichtig:Modalzerlegung erzeugt keine neuen Moden. Sie schreibt denselben physikalischen Zustand lediglich in den natürlichen Koordinaten des Systems. Erst Anregung, Dämpfung, Nichtlinearität oder veränderte Randbedingungen ändern die Dynamik selbst.
03 · Interactive Lab
Modal Reconstruction Lab
Wähle ein randverträgliches Anfangsprofil und begrenze die Rekonstruktion auf N Moden. Das Lab berechnet die Projektionskoeffizienten numerisch, rekonstruiert u₀(x) und entwickelt die behaltenen Moden anschließend mit ihren Eigenfrequenzen.
Projektion bei t=0Zielprofil ↔ N-Moden-Rekonstruktion
Parseval-Anteil—
Ziel u₀(x)Σ₁ᴺ aₙXₙ
RMS-Fehler—
Parseval-Anteil—
f₁—
T₁—
ZeitentwicklunguN(x,t)=Σ aₙ cos(ωₙt)Xₙ
t0.000 s
Modalkoeffizienten|aₙ|
dominant—
Ein endlicher Modensatz approximiert das Anfangsprofil
—
Profilgezupft
N6
höchstes fₙ—
Parseval-Rest—
04 · Was die Zerlegung leistet
Komplexe Feldbewegung wird zu einem Koordinatenproblem im Modenraum
Die gleiche Idee trägt weit über die Saite hinaus: akustische Hohlräume, mechanische Strukturen und elektromagnetische Resonatoren besitzen jeweils ihre eigenen Eigenfunktionen und Projektionsregeln.
Glatte Profile konvergieren typischerweise schnell; scharfe Knicke benötigen höhere räumliche Frequenzen.
Auch wenn das Anfangsprofil einfach aussieht, können die Phasen der Moden später komplexe Muster erzeugen.
Im linearen homogenen System entwickeln sich die modalen Koordinaten unabhängig. Kopplung zwischen ihnen signalisiert zusätzliche Physik.
05 · K10 in vier Aussagen
Modalzerlegung verbindet Superposition, Randbedingungen und Eigenfrequenzen zu einem vollständigen Zustandsmodell
Eigenmoden bilden die natürlichen räumlichen Koordinaten des linearen Systems.
Skalarprodukte bestimmen, wie stark ein Zustand jede Mode enthält.
Jede modale Koordinate entwickelt sich mit ihrer eigenen Eigenfrequenz.
Die Summe aller gewichteten Moden ergibt wieder das physikalische Feld.
Rückbezug: M03K01 · Superposition principle liefert die Linearität; M03K06 · Boundary-defined modes die Eigenfunktionen; M03K07 · Eigenfrequencies ihre Zeitfrequenzen. Vorausblick: M04K01 · Boundary conditions zeigt, wie Medienübergänge die zulässigen Feldformen verändern.