Endliche Kette
Bei N gekoppelten Freiheitsgraden ist die Konfiguration ein Vektor. Zusammen mit den Geschwindigkeiten ergibt sich ein endlicher Zustandsraum.
u(t) = [u₁,…,uN]ᵀ
z(t) = [u, u̇]
M02 · K01
Von gekoppelten Oszillatoren
Von gekoppelten Oszillatoren
zur räumlichen Welle
M01 endete mit einer Kette lokaler Freiheitsgrade und ihrem Langwellen-Grenzfall. Jetzt ändert sich die Perspektive: Der Zustand ist über den Raum verteilt. Eine lokale Störung koppelt nur an direkte Nachbarn — und aus der wiederholten lokalen Kopplung entsteht räumliche Ausbreitung.
01 · Systemwechsel
Der Zustand wird zu einer Funktion des Ortes
Beim einzelnen Oszillator genügen wenige Zahlen. In einer ausgedehnten Struktur muss der Zustand an jedem Ort beschrieben werden. Das ist der Schritt vom endlichdimensionalen dynamischen System zum Feld.
Kontinuierliches Feld
Im Kontinuumsbild wird aus den diskreten Werten eine Feldfunktion. Auch hier braucht eine Gleichung zweiter Ordnung Feldwert und Feldgeschwindigkeit als Zustand.
un(t) → ψ(x,t)
state(t) = {ψ(x,t), ψt(x,t)}
Lokalität
Die Beschleunigung an einem Ort wird nicht vom gesamten Feld direkt bestimmt, sondern durch die lokale Form der unmittelbaren Umgebung.
ψtt(x,t) = c² ψxx(x,t)
02 · Lokale Kopplung
Nicht die Höhe, sondern die lokale Krümmung treibt die Bewegung
Die Nachbarn wirken nur über Differenzen. Liegt ein Knoten über dem Mittel seiner beiden Nachbarn, ist die resultierende Kopplungskraft negativ; liegt er darunter, ist sie positiv.
un−1
− 2
un
+
un+1
m ün = κ (un+1 − 2un + un−1)
Δ²un ≡ un+1 − 2un + un−1
Δ²un / a² → ψxx
ψtt = c² ψxx
c = a√(κ/m)
Der Übergang ist nur dann gut, wenn sich das Feld über mehrere Gitterabstände hinweg glatt ändert. Entscheidend ist also die räumliche Skala der Störung relativ zu a, nicht allein die Zahl der Massen.
03 · Interactive Lab
Propagation Seed Lab
Eine lokalisierte Anfangsauslenkung wird exakt in die Normalmoden einer festen 61-Massen-Kette zerlegt. Beobachte, wie die Störung durch lokale Nachbarkopplung räumlich weitergegeben wird, und untersuche am Probe-Knoten die diskrete Krümmung direkt.
0.42.0 kg
1080 N/m
1.58.0
0.250.75
260
Diskretes Feld · N = 61 · a = 0.10 mun(t) als räumliches Profil
läuft
aktueller ZustandAnfangsprofilProbe-Knoten
t0.000s
cLW0.707m/s
un0.000m
ün0.000m/s²
Lokale EvolutionsregelDrei Punkte bestimmen die momentane Beschleunigung
Δ²un0.0000m
Systemlesart
Lokale Krümmung treibt die Änderung
Die Glätteanzeige basiert nur auf σ/a und ist eine qualitative Orientierung. M01K10 bezeichnete die diskrete Modenwellenzahl mit q; K05 führt für das Kontinuumsbild die Standardnotation k ein. Die dispersive Bedeutung kurzer Gitterwellen folgt in K08.
Der Probe-Knoten wird nur über seine beiden direkten Nachbarn beschleunigt. Die globale Ausbreitung entsteht aus der wiederholten Anwendung dieser lokalen Regel.
gitter-nahräumlich glatt
04 · Was sich hier ausbreitet
Eine Welle ist eine räumlich organisierte Zustandsänderung
Es wandert nicht „dieselbe Masse“ durch das System. Jeder Freiheitsgrad bleibt lokal; räumlich weitergegeben wird die Änderung des lokalen Zustands. Phase und Energiefluss werden später separat formalisiert. Die formale Beschreibung dieser laufenden Strukturen beginnt in K02.
un(t) = Σ Ap φn(p) cos(ωpt)
φn(p) = √[2/(N+1)] sin(npπ/(N+1))
ωp = 2√(κ/m) sin[pπ/(2(N+1))]
Die Animation ist keine qualitative Täuschung: Sie verwendet exakt die Eigenmoden der linearen festen Kette bei verschwindender Anfangsgeschwindigkeit.
qa ≪ 1
Das Feld muss sich auf einer Skala ändern, die groß gegenüber dem Gitterabstand ist. Eine sehr schmale Störung enthält viele kurze räumliche Skalen und verrät die Diskretheit stärker. Hier bleibt q die diskrete Notation aus M01K10; im Kontinuumsbild von K05 wird dieselbe räumliche Rolle mit k bezeichnet.
- linear und homogen
- nur nächste Nachbarn
- keine Dämpfung
- feste Enden der Lab-Kette
Reflexionen an Grenzen gehören zu M04. Deshalb setzt das Lab die Darstellung zurück, bevor das Zentrum der dominanten Störung den nächstgelegenen festen Rand erreicht. Phasen- und Gruppengeschwindigkeit sowie Dispersion werden innerhalb von M02 separat aufgebaut.
05 · M01 → M02
Der entscheidende Perspektivwechsel
Ein lokaler Zustand entwickelt sich in der Zeit.
Nachbarzustände beeinflussen ihre Beschleunigungen gegenseitig.
Im Kontinuumsgrenzfall wird der Zustand zu ψ(x,t).
Globale räumliche Dynamik entsteht aus einer lokalen Evolutionsregel.
Rückblick: M01K10 · From oscillator to distributed system liefert die diskrete Kette und den Langwellen-Grenzübergang, auf denen dieses Kapitel aufbaut.
M02 · K02
Traveling waves
Eine laufende Welle ist zunächst keine Sinuskurve, sondern eine Feldform, deren Argument sich verschiebt. Bleibt die Form als Funktion von x ∓ ct erhalten, bewegt sich das Muster mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c durch den Raum.
ψ(x,t) = f(x − ct)
Für einen ausgezeichneten Profilpunkt gilt ξ = x − ct = konstant. Daher wächst seine Position mit der Zeit: x(t)=ct+ξ.
ψ(x,t) = g(x + ct)
Hier bleibt η = x + ct konstant. Damit folgt x(t)=−ct+η: dieselbe Argumentlogik, entgegengesetzte Richtung.
Ein festes Mediumselement bleibt an seinem Ort bzw. bewegt sich nur entsprechend der lokalen Feldgröße. Was sich über größere Distanz fortpflanzt, ist die räumliche Struktur des Zustands.
MusterwandertOrt x*bleibt fest
01 · Warum das die Wellengleichung löst
Die Form darf beliebig sein — das Argument trägt die Dynamik
Setze ξ = x − ct und ψ = f(ξ). Die Kettenregel erzeugt auf der Zeitseite genau denselben zweiten Ableitungsterm wie auf der Raumseite, nur mit dem Faktor c².
ψx = f′(ξ)
ψxx = f″(ξ)
ψt = −c f′(ξ)
ψtt = c² f″(ξ)
ψtt = c² ψxx
für jedes hinreichend glatte f
Für g(x+ct) verschwindet das Minuszeichen bereits bei der zweiten Zeitableitung. Beide Richtungen sind gleichberechtigte Lösungen.
02 · Interactive Lab
Traveling Form Lab
Verfolge einen festen Profilpunkt ξ = 0 und gleichzeitig das Signal an einem festen Raumort x*. Das Profil wird exakt ausgewertet — nicht numerisch weitergeschoben. Deshalb ist jede beobachtete Formerhaltung eine direkte Eigenschaft von f(x ∓ ct).
0.452.40
ψ(x,t) = f(x − ct)Räumliches Profil und mitlaufendes ξ = 0
läuft
aktuelles Profilt = 0ξ = 0fester Ort x*
xξ=0−2.500
ξ(x*,t)4.000
ψ(x*,t)0.000
Formfehler0.0e+0
Lokaler BeobachterFeldwert am festen Ort x*
Konstantes Argument
ξ = x − ct bleibt am Profilpunkt konstant
x = x₀ + ct
Der markierte Profilpunkt bewegt sich nach rechts. Der Probe-Ort bleibt dagegen fest und registriert nur, wie das Profil an ihm vorbeizieht.
Die Animation wird exakt dann zurückgesetzt, wenn der markierte Profilpunkt ξ = 0 den dargestellten x-Bereich erreicht. Das ist nur eine Darstellungswiederholung, keine Reflexion oder periodische Randbedingung.
03 · Beide Richtungen
Die 1D-Wellengleichung trägt zwei unabhängige Laufrichtungen
Auf einer unendlichen homogenen 1D-Linie lässt sich die allgemeine Lösung als Summe einer rechts- und einer linkslaufenden Form schreiben. Diese Aussage ist stärker als die harmonische Speziallösung.
Rechtslaufende Komponente
+
Linkslaufende Komponente
=
d’Alembert-Form für die homogene 1D-Wellengleichung
K02 beschreibt die Translation einer Feldform. M02K03 zerlegt anschließend die messbaren Größen einer harmonischen Welle — Amplitude, Wellenlänge und Frequenz. Phase und die daraus definierte Phasengeschwindigkeit bleiben bewusst M02K04 vorbehalten.
04 · K02 in vier Aussagen
Traveling wave heißt: dieselbe Form bei verschobenem Argument
f(x−ct) transportiert ein Profil in +x-Richtung.
g(x+ct) transportiert ein Profil in −x-Richtung.
Die Wellengleichung verlangt hier keine Sinusform.
Bei festem x ändert sich ψ, während das Muster vorbeiläuft.
M02 · K03
Amplitude, wavelength, frequency
Periodische Wellen besitzen zwei unabhängige Wiederholungsskalen: eine im Raum und eine in der Zeit. Die Amplitude beschreibt die Stärke der Auslenkung; Wellenlänge λ und Periodendauer T sagen, nach welcher Distanz bzw. Zeit sich derselbe Zustand wiederholt.
Maximaler Betrag der Feldgröße relativ zur Ruhelage. A skaliert die vertikale Auslenkung, nicht die räumliche Länge der Welle.
Einheit von ψ
Kleinste positive räumliche Verschiebung, nach der sich ein periodisches Profil bei festem Zeitpunkt wiederholt.
m
Kleinste positive Zeitspanne, nach der ein fester Raumort wieder denselben periodischen Zustand erreicht.
s
Anzahl vollständiger Perioden pro Sekunde. Frequenz und Periodendauer sind reziprok.
Hz = s⁻¹
01 · Zwei Arten von Periodizität
λ ist eine Distanz, T ist eine Zeit
Beide Größen beschreiben Wiederholung, aber in verschiedenen Schnitten durch dasselbe Feld ψ(x,t). Diese Trennung verhindert eine häufige Verwechslung: Frequenz ist keine räumliche Dichte von Wellenbergen und Wellenlänge keine Zeitdauer.
ψ(x + λ,t) = ψ(x,t)λ > 0 minimal
Vergleiche zwei Orte zur selben Zeit. Gleiche Phase des periodischen Musters erscheint nach der Distanz λ erneut.
ψ(x,t + T) = ψ(x,t)T = 1/f
Beobachte einen festen Ort. Nach T Sekunden wiederholt sich das lokale Signal; pro Sekunde treten f = 1/T Perioden auf.
c = λ/Tc = λf
Während einer Periodendauer verschiebt sich eine formtreue laufende Welle genau um eine Wellenlänge. In einem Medium mit vorgegebenem, nichtdispersivem c sind λ und f daher nicht unabhängig, sondern erfüllen λ = c/f.
02 · Harmonisches Beispiel
Die Sinuswelle macht beide Perioden direkt sichtbar
Eine harmonische rechtslaufende Welle ist ein Spezialfall aus K02. In dieser Schreibweise stehen nur die in K03 benötigten Messgrößen im Vordergrund; die allgemeine Phasenbeschreibung folgt erst in K04.
ψ(x,t) = A sin[2π(x/λ − ft)]
A vertikale Skalaλ räumliche Periodef zeitliche Wiederholrate
K03 benötigt weder Wellenzahl k noch Kreisfrequenz ω. Beide Größen sind räumliche bzw. zeitliche Phasenraten und werden in M02K05 formal definiert.
Die geometrische Bedeutung der Phase und die Phasengeschwindigkeit gehören zuerst zu M02K04.
03 · Interactive Lab
Wave Scales Lab
Ändere A, λ und f unabhängig. Die räumliche Grafik misst λ zwischen zwei gleichartigen Wellenbergen; die Zeitspur am festen Probe-Ort misst T. Die daraus folgende Ausbreitungsgeschwindigkeit c = λf wird nicht separat eingestellt, sondern berechnet.
0.251.50
1.20 m4.50 m
0.20 Hz1.80 Hz
Raumschnitt · t festAmplitude und Wellenlänge
läuftA1.00
λ2.50 m
T = 1/f1.250 s
c = λf2.00 m/s
Zeitschnitt · x = x*Periodendauer am festen Ort
Ein Zyklus verbindet Raum und ZeitNach T = 1.250 s ist die Welle um λ = 2.50 m weiter.
cT = λ
Ein gleichphasiger Punkt des Musters legt in genau einer Periodendauer eine Wellenlänge zurück. Daraus folgen c = λ/T und c = λf.
Das Lab verwendet eine ideale, nichtdispersive laufende Sinuswelle. Dispersion wird erst in K08 behandelt.04 · K03 in vier Aussagen
Periodische Wellen besitzen eine räumliche und eine zeitliche Skala
legt die Größe der Feldabweichung fest.
ist die räumliche Wiederholdistanz.
ist die Anzahl der Perioden pro Sekunde; T = 1/f.
verknüpft beide Skalen durch c = λf.
K02 lieferte die allgemeine laufende Form f(x−ct). K03 spezialisiert auf periodische Wellen und macht deren Messskalen sichtbar. M02K04 fragt als Nächstes, welcher Zustand innerhalb eines Zyklus an einem Ort vorliegt — die Phase.
M02 · K04
Phase and
Phase and
phase velocity
Amplitude, Wellenlänge und Periodendauer sagen, wie groß und wie weit ein Zyklus ist. Die Phase sagt, wo innerhalb dieses Zyklus ein Feldpunkt liegt. Verfolgt man einen Punkt konstanter Phase durch Raum und Zeit, erhält man die Phasengeschwindigkeit.
01 · Phase als Zykluskoordinate
Ein Winkel beschreibt denselben periodischen Zustand in Raum und Zeit
K03 schrieb die harmonische Welle als Sinus. Für K04 wählen wir die äquivalente Cosinuskonvention und schreiben den dimensionslosen Zyklusanteil explizit als Winkel; das verschiebt nur den Nullpunkt der Phase. Ein zusätzlicher Offset φ₀ verschiebt das gesamte Muster, ohne A, λ oder T zu ändern.
Lokale Phase
θ gibt die Position innerhalb eines Zyklus an. Phasen, die sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 2π unterscheiden, beschreiben denselben harmonischen Zustand.
θ(x,t) = 2π(x/λ − t/T) + φ₀
Gleichphasigkeit
Zwei Punkte sind gleichphasig, wenn ihre Phasendifferenz ein ganzzahliges Vielfaches von 2π beträgt. Benachbarte gleichphasige Punkte liegen räumlich um λ auseinander.
Δθ = 2πn ↔ Δx = nλ
Phasenoffset
φ₀ legt fest, welcher Zykluszustand bei x=0 und t=0 vorliegt. Er verschiebt die Welle horizontal, ändert aber weder Amplitude noch Periodenabstände.
ψ(x,t) = A cos θ(x,t)
02 · Konstante Phase
Die Geschwindigkeit eines Phasenpunkts folgt aus θ = konstant
Ein Wellenberg ist nur ein besonders leicht sichtbarer Phasenpunkt. Dieselbe Rechnung gilt für jeden festen Wert θ*. Der Phasenpunkt wandert, obwohl die materielle Auslenkung eines lokalen Elements nur um seine Ruhelage oszilliert.
Konstantes Argument verfolgen
1
2π(x/λ − t/T) + φ₀ = θ*Ein bestimmter Zykluszustand wird festgehalten.
2
x(t) = λ[t/T + (θ*−φ₀)/(2π) + n]Jede ganze Zahl n bezeichnet einen räumlich äquivalenten Phasenpunkt.
3
dx/dt = λ/T = λfAlle gleichphasigen Punkte derselben harmonischen Komponente besitzen dieselbe Steigung im x–t-Diagramm.
Phasengeschwindigkeit vφ
Die Phasengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der ein Punkt konstanter Phase wandert. Im bisherigen nichtdispersiven Arbeitsmodell ist sie identisch mit der in K02/K03 verwendeten Ausbreitungsgeschwindigkeit c.
vφ ≡ (dx/dt)θ = λ/T = λf = c
Für die linkslaufende Form 2π(x/λ+t/T)+φ₀ ist das Vorzeichen umgekehrt: vφ=−λf. K07 trennt später Phasen- und Gruppengeschwindigkeit; K08 behandelt Frequenzabhängigkeit.
03 · Interactive Lab
Constant-Phase Tracker
Wähle einen Phasenwert θ*. Im Raumbild werden alle Punkte mit derselben Phase markiert. Das x–t-Diagramm verfolgt ihre Weltlinien: ihre Steigung ist vφ. Ändere φ₀, λ oder f und beobachte, was sich nur verschiebt — und was die Steigung tatsächlich verändert.
Raumschnitt bei festem tGleichphasige Punkte auf ψ(x,t)
läuft
Wellenprofilθ = θ* mod 2πverfolgter Vertreter
θ*0.000 rad
θ* in Grad0.0°
λ3.000 m
T1.250 s
vφ2.400 m/s
xθ*(t)0.000 m
Raum–Zeit-DiagrammWeltlinien konstanter Phase
04 · Interpretation
Phase beschreibt Musterlage — nicht automatisch Energie- oder Stofftransport
Ändert sich nur φ₀, verschieben sich alle Phasenlinien parallel. Ihre Steigung und damit vφ bleiben unverändert.
Ein Wellenberg, ein Nulldurchgang oder jeder andere feste Zykluswinkel kann als Phasenmarker verwendet werden.
Bei Überlagerungen und Dispersion können Phase, Hüllkurve und Energie unterschiedliche Geschwindigkeiten besitzen. K07/K08 behandeln diese Trennung explizit.
Rückblick: M02K03 definierte λ, T und f geometrisch. Ausblick: M02K05 schreibt dieselbe Phase kompakt mit Wellenzahl k und Kreisfrequenz ω; M02K07 führt die Gruppengeschwindigkeit ein.
05 · K04 in vier Aussagen
Konstante Phase erzeugt eine Linie im Raum–Zeit-Diagramm
Position innerhalb des periodischen Zyklus, äquivalent modulo 2π.
Verschiebt die Musterlage, ohne λ, T oder vφ zu ändern.
Benachbarte Vertreter liegen um λ auseinander und bewegen sich parallel.
vφ=(dx/dt)θ=λ/T=λf im bisherigen Arbeitsmodell.
M02 · K05
Wave number and angular frequency
K03 maß Wiederholung mit λ und T; K04 beschrieb die Lage im Zyklus durch die Phase. Jetzt werden beide Wiederholungsskalen in natürliche Winkelraten übersetzt: k misst räumlichen Phasenfortschritt pro Strecke, ω zeitlichen Phasenfortschritt pro Zeit.
01 · Von Perioden zu Winkelraten
Zyklen zählen und Phase messen sind dieselbe Information in anderer Einheit
Die räumliche Zyklendichte ist 1/λ, die zeitliche Zyklendichte ist f. Multipliziert man jeweils mit 2π rad pro Zyklus, erhält man Wellenzahl und Kreisfrequenz.
Wie viele vollständige Perioden des Musters auf einen Meter entfallen.
cycles / m
Räumlicher Phasenfortschritt in Radiant pro Meter. Hier bezeichnet k die Wellenzahl, nicht die Federsteifigkeit aus M01.
k = 2π/λ
rad / m
Wie viele vollständige zeitliche Perioden ein fester Ort pro Sekunde durchläuft.
cycles / s = Hz
Zeitlicher Phasenfortschritt in Radiant pro Sekunde. Eine volle Periode liefert 2π rad.
ω = 2πf = 2π/T
rad / s
02 · Phase als lineares Feld
k und ω sind die Steigungen der entfalteten Phase
Für die rechtslaufende harmonische Welle wächst die Phase bei festem Zeitpunkt linear mit x und nimmt bei festem Ort linear mit t ab. Genau diese beiden Steigungen sind k und −ω.
Räumlicher Phasengradient
θ(x,t) = kx − ωt + φ₀∂θ/∂x = k
Über die Strecke λ wächst die Phase um 2π. Ein größeres k bedeutet daher eine kürzere Wellenlänge und dichtere räumliche Phasenwicklung.
Zeitliche Phasenrate
θ(x,t) = kx − ωt + φ₀∂θ/∂t = −ω
Bei der rechtslaufenden Vorzeichenkonvention nimmt die entfaltete Phase am festen Ort mit der Zeit ab. Der Betrag der Rate ist ω.
dθ = k dx − ω dt→dθ = 0→vφ = dx/dt = ω/k
Der Radiant ist im SI formal dimensionslos; die Schreibweisen rad/m und rad/s bleiben hier bewusst erhalten, weil sie die physikalische Bedeutung als räumliche bzw. zeitliche Phasenrate sichtbar machen. Für eine linkslaufende Konvention ändert sich das Vorzeichen des räumlichen oder zeitlichen Terms entsprechend.
03 · Interactive Lab
Phase Rate Lab
Ändere λ und f unabhängig. Das Wellenprofil zeigt dieselbe Phase modulo 2π; die beiden unteren Diagramme zeigen die entfaltete (unwrapped) Phase ohne Modulo. Dadurch werden k als räumliche und −ω als zeitliche Steigung direkt sichtbar.
0.80 m5.00 m
0.20 Hz2.00 Hz
0 s2.5 s
Harmonische WellePhasenmuster modulo 2π
läuftk2.513 rad/m
ω5.027 rad/s
ω/k2.000 m/s
θ(x*,t)7.540 rad
θ mod 2π1.257 rad
T1.250 s
t festEntfaltete Phase θ(x,t*) · Steigung +k
∂θ/∂x = k. Die feste θ-Achse verhindert, dass unterschiedliche Steigungen grafisch normalisiert werden.
x* festEntfaltete Phase θ(x*,t) · Steigung −ω
∂θ/∂t = −ω. Das Minus gehört zur gewählten rechtslaufenden Form kx−ωt.
04 · Kompakte Wellenschreibweise
Vier Größen, eine einzige Phase
λ und f bleiben die direkt anschaulichen Periodengrößen; k und ω sind die mathematisch natürlichen Winkelraten. Beide Beschreibungen sind vollständig äquivalent.
Große Wellenlänge bedeutet kleine Wellenzahl; kurze räumliche Perioden bedeuten schnellen Phasenfortschritt pro Meter.
kλ = 2π
Frequenz zählt Perioden pro Sekunde, Kreisfrequenz zählt den zugehörigen Winkel pro Sekunde.
ωT = 2π
Eine Linie konstanter Phase erfüllt k dx − ω dt = 0. Ihre Steigung im Raum–Zeit-Diagramm ist daher die Phasengeschwindigkeit.
vφ = ω/k = λf
Rückblick: M02K03 definierte λ und f, M02K04 die Phase und vφ. Ausblick: In M02K07 und M02K08 wird die Beziehung ω(k) selbst dynamisch wichtig: ihre Steigung liefert Gruppengeschwindigkeit und ihre Nichtlinearität Dispersion.
05 · K05 in vier Aussagen
k und ω sind keine neuen Wellenphänomene, sondern die natürlichen Phasenraten
k = 2π/λ misst räumlichen Phasenfortschritt pro Länge.
ω = 2πf misst zeitlichen Phasenfortschritt pro Zeit.
θ = kx − ωt + φ₀ verdichtet Raum, Zeit und Offset in eine dimensionslose Zykluskoordinate.
Für konstante Phase folgt vφ = ω/k, identisch zu λf.
M02 · K06
Energy transport
Eine laufende Welle transportiert nicht nur ein Phasenmuster. Sie kann Energie von Ort zu Ort übertragen, obwohl die Materieteilchen im linearen Modell nur lokal um ihre Ruhelage schwingen. Um diesen Transport quantitativ zu beschreiben, braucht die abstrakte Wellengleichung ein konkretes physikalisches Energiemodell.
01 · Vom Wellenfeld zur Energie
Die Wellengleichung bestimmt die Kinematik — das Medium bestimmt die Energie
Die Gleichung ∂²ψ/∂t² = c²∂²ψ/∂x² sagt, wie ein Feld propagiert. Sie enthält für sich allein aber noch keine eindeutige Energiedichte. K06 verwendet deshalb die kleine transversale Auslenkung y(x,t) einer ideal gespannten Saite als konkretes Modell.
Lineare Saite mit μ und FT
Die lineare Massendichte μ speichert kinetische Energie; die Zugkraft FT koppelt benachbarte Saitenelemente elastisch. Im Kleinwinkelmodell ist die Wellengeschwindigkeit durch beide Materialparameter festgelegt.
c = √(FT/μ)FT = μc²
Arbeitsannahmen: konstante Zugkraft, kleine Steigung |∂y/∂x| ≪ 1, keine Dämpfung, keine Biegesteifigkeit. Dämpfung folgt in K09.
Rechtslaufende harmonische Welle
Die in K05 eingeführte Phase bleibt erhalten. Nur die Feldgröße ist jetzt explizit eine Saitenauslenkung in Metern.
y(x,t) = A cos(kx − ωt)ω = ck
Die Relation ω = ck kennzeichnet dieses nondispersive Modell. K08 löst diese einfache lineare Dispersionsrelation auf.
02 · Energiedichte und Leistungsfluss
Energie sitzt lokal im Bewegungs- und Deformationszustand
Ein kleines Saitenstück besitzt kinetische Energie durch seine transversale Geschwindigkeit und elastische Energie durch seine lokale Steigung. Die Zugkraft verrichtet Arbeit über die Grenzen des betrachteten Stücks — genau daraus entsteht der Leistungsfluss.
Schnelle lokale Querbewegung bedeutet hohe kinetische Energiedichte.
ukin = ½ μ (∂y/∂t)²
Eine geneigte Saite ist gegenüber der Ruhelage verlängert; diese Deformation speichert Energie.
uel = ½ FT (∂y/∂x)²
Die lokale Energie pro Saitenlänge ist die Summe beider Speicherformen.
u = ukin + uel[u] = J/m
Das Vorzeichen gibt die Transportrichtung an. Für die hier verwendete rechtslaufende Welle ist P ≥ 0.
P = −FT (∂y/∂x)(∂y/∂t)[P] = W
∂u/∂t + ∂P/∂x = 0⇄Nimmt die Energie in einem kleinen Raumabschnitt zu, muss netto mehr Leistung hinein- als hinausfließen. Ohne Dämpfung oder Quelle wird Energie lokal nur umverteilt, nicht erzeugt oder vernichtet.
03 · Spezialfall der laufenden Sinuswelle
Bei einer reinen rechtslaufenden Welle bewegen sich Energiedichte und Leistung gemeinsam nach +x
Setzt man y = A cos(kx−ωt) ein und nutzt FTk² = μω², werden kinetischer und elastischer Anteil punktweise gleich. Die Energie folgt einem sin²-Muster und besitzt deshalb die doppelte räumliche und zeitliche Wiederholungsrate des Auslenkungsfeldes.
Für die einzelne laufende harmonische Welle sind beide Speicheranteile an jedem Ort und zu jedem Zeitpunkt gleich groß.
u = μA²ω² sin²(kx−ωt)
Die lokale Leistung ist im verlustfreien nondispersiven Saitenmodell direkt proportional zur lokalen Energiedichte und stets nach rechts gerichtet.
P = FTA²kω sin²(kx−ωt)
Über eine volle Periode mittelt sich sin² auf 1/2. Dadurch wird die zentrale Skalierung des Kapitels sichtbar.
⟨P⟩ = ½ μA²ω²c
⟨P⟩ ∝ A²⟨P⟩ ∝ f²bei μ,c fest
04 · Interactive Lab
Energy Flux Lab
Das Lab hält das Medium physikalisch konsistent: Aus μ und c folgt FT = μc²; aus f und c folgen λ und k. Die obere Kurve zeigt die Saitenauslenkung, die untere die auf den theoretischen Spitzenwert upeak normierte Energiedichte. Alle Zahlenwerte bleiben in SI-Einheiten.
0.02 m0.10 m
0.5 Hz2.5 Hz
3 m/s12 m/s
0.05 kg/m0.25 kg/m
0 m12 m
0 s3 s
Feld und EnergieLaufende Saite · Energiefluss nach +x
läuftWellenlänge λ6.000 m
Zugkraft FT4.320 N
Wellenzahl k1.047 rad/m
Kreisfrequenz ω6.283 rad/s
mittlere Dichte ⟨u⟩0.0038 J/m
mittlere Leistung ⟨P⟩0.0227 W
Momentane lokale Bilanz
ukin0.0000 J/m
uel0.0000 J/m
u = ukin+uel0.0000 J/m
P = c u0.0000 W
Mittlere transportierte Leistung
⟨P⟩0.0227 W
0Lab-Maximum
Linearitätscheck: Ak = 0.042 · Ak ≪ 1.
05 · Interpretation und Grenze
Mustertransport, Energietransport und Stofftransport sind drei verschiedene Aussagen
Im einfachen nondispersiven Saitenmodell fallen Phasen- und Energietransportgeschwindigkeit numerisch zusammen. Daraus folgt jedoch keine allgemeine Identität für beliebige Wellen.
Die Saitenelemente bewegen sich quer zur Ausbreitungsrichtung um feste Gleichgewichtslagen. Energie kann nach rechts wandern, obwohl Materie nicht mit der Welle nach rechts transportiert wird.
Für die einzelne verlustfreie rechtslaufende Saite gilt punktweise P = cu; wo u > 0, entspricht P/u der Geschwindigkeit c. Zugleich ist vφ = ω/k = c. Das ist eine Eigenschaft dieses nondispersiven Modells.
Wenn mehrere nahe Wellenzahlen überlagert werden, bildet sich eine Hüllkurve. K07 untersucht deren Geschwindigkeit und damit die natürliche Brücke zum Energietransport in dispersiven Systemen.
Rückblick: M01K04 behandelte Energieaustausch im einzelnen Oszillator; M02K05 führte k und ω ein. Ausblick: M02K07 führt die Gruppengeschwindigkeit ein, M02K09 ergänzt Dissipation und räumliche Abschwächung.
06 · K06 in vier Aussagen
Energietransport ist eine lokale Erhaltungsbilanz, nicht nur ein wanderndes Bild
Im Saitenmodell besteht sie aus kinetischem und elastischem Anteil und hat die Einheit J/m.
P = −FTyxyt misst, wie viel Energie pro Zeit durch einen festen Ort übertragen wird.
Ohne Quelle oder Dämpfung gilt ∂u/∂t + ∂P/∂x = 0.
Für die harmonische laufende Welle gilt ⟨P⟩ = ½ μA²ω²c; Verdopplung von A oder f vervierfacht bei sonst gleichen Größen die mittlere Leistung.
M02 · K07
Group velocity
Eine einzelne monochromatische Welle besitzt zwar eine Phasengeschwindigkeit, aber kein lokalisiertes Paket. Erst die Überlagerung benachbarter Wellenzahlen erzeugt eine Hüllkurve. Deren Bewegung führt zur Gruppengeschwindigkeit — und macht die Steigung der Dispersionsrelation ω(k) physikalisch sichtbar.
01 · Zwei nahe Komponenten
Aus zwei Phasenmustern entsteht eine langsam variierende Hüllstruktur
Nimm zwei gleich starke laufende Wellen mit nahe beieinanderliegenden Wellenzahlen k₁, k₂ und Kreisfrequenzen ω₁, ω₂. Mit der Summenformel zerfällt ihre Überlagerung exakt in eine schnelle Trägeroszillation und einen langsamen Modulationsfaktor.
ψ = A cos(k₁x − ω₁t) + A cos(k₂x − ω₂t)
ψ = 2A cos[(Δk·x − Δω·t)/2] · cos(k̄x − ω̄t)
Der zweite Cosinus ist der schnelle Träger mit k̄ = (k₁+k₂)/2 und ω̄ = (ω₁+ω₂)/2. Der erste Faktor moduliert seine Amplitude und bildet die Hüllstruktur.
Δk·x − Δω·t = const.
venv = Δω / Δk
Für zwei endliche Abstände ist die Hüllgeschwindigkeit eine Sekantensteigung im ω-k-Diagramm.
vg = limΔk→0 Δω/Δk = dω/dk
Ein schmales Paket enthält viele nahe k-Werte um k₀. Seine führende Hüllgeschwindigkeit ist deshalb die lokale Steigung der Dispersionsrelation am Träger.
02 · Zwei verschiedene Steigungen
vφ liest eine Gerade vom Ursprung — vg die Tangente an ω(k)
Am Trägerpunkt (k₀,ω₀) entstehen zwei geometrisch verschiedene Geschwindigkeiten. Die Phasengeschwindigkeit ist das Verhältnis ω₀/k₀. Die Gruppengeschwindigkeit ist die lokale Ableitung. Nur bei einer linearen Relation durch den Ursprung, ω = ck, stimmen beide überall überein.
vφ = ω₀/k₀
Im ω-k-Diagramm ist das die Steigung der Verbindung vom Ursprung zum Trägerpunkt.
vg = (dω/dk)k₀
Geometrisch ist das die Tangentensteigung der Dispersionsrelation im Trägerpunkt.
ω = ck ⇒ vφ = vg = c
Genau dieser Spezialfall lag dem idealen Saitenmodell von K06 zugrunde.
03 · Vom Spektrum zum Paket
Die Ableitung erscheint aus der lokalen Taylor-Entwicklung von ω(k)
Ein reales Paket besteht aus einem kontinuierlichen Spektrum um k₀. Ist dieses Spektrum schmal genug, genügt zunächst die lineare Näherung der Dispersionsrelation. Dann verschiebt sich die Hüllkurve mit vg, ohne dass ihre Form in dieser Näherung verändert wird.
ψ(x,t) = Re { ∫ Ã(k) ei[kx−ω(k)t] dk }
Ã(k): Spektrum um k₀
Je schmaler Ã(k) um k₀ konzentriert ist, desto besser kann ω(k) lokal entwickelt werden.
ω(k) ≈ ω₀ + vg(k−k₀)
vg = (dω/dk)k₀
Die spektralen Komponenten akkumulieren dann genau so Phase, dass die Hüllfunktion nur von x−vgt abhängt.
ω(k) = ω₀ + vgκ + ½ω″(k₀)κ² + …
Der Krümmungsterm ω″ verändert das Paket selbst. Diese Formänderung ist Dispersion und gehört in K08. K07 arbeitet absichtlich nur mit der lokalen linearen Näherung.
04 · Interactive Lab
Packet & Slope Lab
Das Lab verwendet ein gaußförmiges Schmalbandpaket und eine lokal linearisierte Relation ω(k) ≈ ω₀ + vg(k−k₀). Dadurch lassen sich Trägerphase und Hüllkurve unabhängig verfolgen, ohne bereits Paketverbreiterung aus K08 einzuführen.
39 rad/m
16 m/s
0.56 m/s
1.2 m3.5 m
03.0 s
WellenpaketTrägerphase innerhalb einer bewegten Hüllkurve
läuftλ₀1.047 m
ω₀18.850 rad/s
f₀3.000 Hz
σk ≈ 1/σx0.455 rad/m
Hüllzentrum xg−7.000 m
Phasenmarker xφ−7.000 m
ω-k-GeometrieUrsprungsgerade vs. lokale Tangente
ω₀/k₀3.000 m/s
dω/dk|k₀3.000 m/s
Wie schnell gleitet die Phase durch das Paket?
Δx = (vφ−vg)t0.000 m
Phase und Hüllkurve bewegen sich gleich schnell. Ein bestimmter Wellenberg bleibt relativ zum Paketzentrum an derselben Stelle.
Schmalbandcheck: σk/k₀ = 0.076 · lokale Linearisierung gut.
05 · Bedeutung und Grenzen
Gruppengeschwindigkeit ist eine Hüllkurvenaussage — keine universelle Definition von Energie- oder Signalgeschwindigkeit
Für viele verlustfreie, schwach dispersive Systeme folgt der Energiefluss eines schmalbandigen Pakets der Gruppengeschwindigkeit. Das ist jedoch eine zusätzliche Systemeigenschaft, nicht die Definition von vg. Ebenso ist das Maximum einer Hüllkurve nicht in jeder Situation identisch mit der Geschwindigkeit einer kausalen Signalfront.
Verfolgt einen festen Phasenwert des schnellen Trägers. Ein einzelner Wellenberg kann durch die Hüllkurve hindurchlaufen.
Entsteht aus der lokalen Steigung dω/dk und beschreibt in erster Ordnung die Translation eines schmalen Spektrums.
K06 definierte Energiefluss über eine lokale Bilanz. Eine Gleichheit mit vg muss aus dem jeweiligen physikalischen Medium folgen.
Rückblick: M02K05 führte k und ω ein; M02K06 trennte Energiefluss von Phasentransport. Ausblick: M02K08 untersucht die Krümmung von ω(k) und damit die Formänderung von Wellenpaketen.
06 · K07 in vier Aussagen
Die Gruppe liest nicht den Wert von ω(k), sondern seine lokale Änderung
Nahe k- und ω-Komponenten bilden eine schnelle Trägerphase und eine langsam variierende Modulation.
Für zwei Komponenten gilt venv = Δω/Δk; im Schmalbandgrenzfall wird daraus vg = dω/dk.
vφ = ω/k ist eine Ursprungssteigung, vg eine lokale Tangentensteigung.
Die lineare Entwicklung verschiebt das Paket. Erst höhere Ableitungen von ω(k) verändern seine Form.
M02 · K08
Dispersion
K07 hat ein schmales Spektrum mit der lokalen Tangente von ω(k) transportiert. Jetzt bleibt der nächste Taylor-Term stehen: Ist die Dispersionsrelation gekrümmt, besitzen benachbarte Spektralkomponenten unterschiedliche Gruppengeschwindigkeiten. Das Paket wird räumlich sortiert und verändert seine Form.
01 · Definition
Paketdispersion beginnt, wenn die Steigung von ω(k) im Spektrum variiert
Eine reine Gerade ω = ck besitzt überall dieselbe Steigung. Dann laufen alle Fourier-Komponenten mit derselben Gruppengeschwindigkeit. Ändert sich dω/dk über das vom Paket belegte Spektralband, trennen sich die Komponenten während der Ausbreitung; im lokalen Modell wird dieser erste Effekt durch die Krümmung D beschrieben.
ω(k) = ckvg = dω/dk = cD = 0
Ein ideales schmales Paket wird nur verschoben. Seine Spektralkomponenten bleiben räumlich zusammen.
vg(k) = dω/dkD = dvg/dk = d²ω/dk²
Ist D im betrachteten Band ungleich null, erhalten Komponenten auf verschiedenen Seiten von k₀ verschiedene Gruppengeschwindigkeiten und akkumulieren unterschiedliche Phasen.
Δvg ≈ |D| ΔkΔx ≈ Δvg t
In einem linearen zeitinvarianten Medium ändern sich die spektralen Amplituden nicht zwingend — aber ihre relativen Phasen schon. Genau daraus entsteht die Formänderung im Ortsraum.
02 · Lokale Geometrie
Der Krümmungsterm ist die erste Quelle von Paketverformung
Schreibe k = k₀ + q und entwickle die Dispersionsrelation um den Träger. K07 behielt nur die lineare Ordnung. K08 nimmt zusätzlich die quadratische Phase auf.
ω(k₀+q) ≈ ω₀ + vg0q + ½Dq²
D ≡ (d²ω/dk²)k₀
ω₀ trägt die schnelle Phase. vg0q verschiebt die Hüllkurve als Ganzes. ½Dq² gibt jeder spektralen Abweichung q eine zusätzliche, quadratisch unterschiedliche Phase.
vg(k₀+q) ≈ vg0 + Dq. Die hoch-k-Seite des Spektrums eilt der niedrig-k-Seite voraus.
Die räumliche Sortierung kehrt sich um. Für ein anfangs ungechirptes symmetrisches Gaußpaket ist die reine Breitenzunahme trotzdem vom Betrag |D| bestimmt.
Notation: Hier bezeichnet D = d²ω/dk² die Krümmung der Funktion ω(k) und hat die Einheit m²/s. In der Faseroptik wird häufig stattdessen β₂ = d²k/dω² verwendet; beide Größen sind nicht identisch und dürfen nicht ohne Umrechnung gleichgesetzt werden.
03 · Gaußpaket
Quadratische Dispersion lässt sich analytisch bis zur Paketbreite verfolgen
Für ein ungechirptes Gaußspektrum und eine lokal quadratische Dispersionsrelation bleibt die Hüllkurve gaußförmig. Sie wird breiter, ihr Maximum sinkt und ihre Phase erhält einen ortsabhängigen Chirp.
B(t) = √[1 + (Dt/σ₀²)²]σx(t) = σ₀ B(t)
Die Wirkung wächst mit Zeit und |D|, aber sinkt stark mit der Anfangsbreite σ₀. Ein räumlich schmales Paket besitzt ein breiteres k-Spektrum und dispergiert deshalb schneller.
Apeak(t)/A₀ = B−1/2Apeak² σx = A₀² σ₀
Im verlustfreien Modell verschwindet keine Paketnorm. Die geringere Spitzenamplitude ist geometrische Verteilung über eine größere Breite, keine Dämpfung. K09 trennt diese Prozesse.
σk ≈ 1/σ₀σvg ≈ |D| σk
Dispersion koppelt spektrale Breite an eine Streuung der Gruppengeschwindigkeiten. Ohne Bandbreite gibt es für eine einzelne monochromatische Komponente keine Paketbreite, die sich verbreitern könnte.
04 · Interactive Lab
Dispersion & Packet Lab
Das Lab verwendet exakt das lokale quadratische Modell ω(k₀+q) = ω₀ + c₀q + ½Dq² mit ω₀ = c₀k₀. Verfolge gleichzeitig die reale Wellenform, die lokale Krümmung im ω-k-Raum und drei repräsentative Spektralkomponenten.
3.58 rad/m
1.54.5 m/s
−0.8+0.8 m²/s
1.2 m3.0 m
05.0 s
OrtsraumWellenpaket mit dispersiver Hüllkurve und Chirp
läuftdispersivReferenz D = 0 bei gleicher σ₀
σk0.556 rad/m
σvg0.200 m/s
B(t)1.000×
σx(t)1.800 m
Apeak/A₀1.000
±σ-Komponenten0.000 m
Lokaler ω-k-RaumTangente und Krümmung um k₀
Steigung bei k₀2.800 m/s
Krümmung+0.360 m²/s
Spektrale SortierungDrei Komponenten bei k₀−σk, k₀ und k₀+σk
Bei D > 0 läuft die +σk-Komponente voraus; die −σk-Komponente fällt zurück.
Direkte Beobachtung
Breiter werden ist nicht dasselbe wie gedämpft werden
Norm-Check1.000000
Chirpnoch keiner
Zu t = 0 stimmen aktuelle und nondispersive Referenzhüllkurve überein. Mit wachsender Zeit erzeugt D ≠ 0 eine spektrale Sortierung und damit Paketverbreiterung.
05 · Bedeutung und Grenzen
Krümmung beschreibt lokale Dispersion — nicht jede mögliche Paketdynamik
Das quadratische Modell isoliert die zweite Ableitung von ω(k). Reale Medien können höhere Ordnungen, mehrere Zweige, Grenzfrequenzen, anisotrope Richtungsabhängigkeit oder Verluste besitzen. Dann kann ein Paket asymmetrisch werden, Nebenstrukturen bilden oder sich zusätzlich abschwächen.
Alle Komponenten im lokalen Modell besitzen dieselbe Gruppengeschwindigkeit. Ein Gaußpaket behält seine Breite.
Die Hüllkurve verteilt sich räumlich. Das ist reversible lineare Phasendynamik, solange keine Dissipation hinzugefügt wird.
Das Vorzeichen legt fest, welche Seite des k-Spektrums vorausläuft. Im symmetrischen ungechirpten Gaußmodell hängt die Breitenzunahme nur von |D| ab.
Rückblick: M02K07 identifizierte vg als erste Ableitung von ω(k). K08 zeigt jetzt, dass die Änderung dieser Steigung die Paketform beeinflusst. Ausblick: M02K09 führt echte Dämpfung und räumliche Attenuation ein und trennt damit Formverteilung von Energieverlust.
06 · K08 in vier Aussagen
Dispersion ist differenzieller Transport innerhalb eines Spektrums
Eine gekrümmte Dispersionsrelation bedeutet, dass die lokale Steigung und damit vg mit k variiert.
D = d²ω/dk² ist die niedrigste lokale Größe, die eine Änderung der Gruppengeschwindigkeit über das Spektrum beschreibt.
Je größer Δk, desto größer ist bei gleichem |D| die Streuung der Gruppengeschwindigkeiten.
Ein Paket kann breiter und niedriger werden, obwohl seine Norm erhalten bleibt. K09 ergänzt erst den dissipativen Verlust.
M02 · K09
Damping &
Damping &
attenuation
K08 konnte ein Paket niedriger machen, ohne Energie zu vernichten: Dispersion verteilt die Feldamplitude nur anders im Raum. K09 ergänzt nun einen echten Verlustterm. Die lokale Energiebilanz erhält eine negative Quelle, und harmonische Wellen können beim Durchlaufen eines Mediums exponentiell abgeschwächt werden.
01 · Dissipative Wellengleichung
Der Energiefluss bekommt eine echte Senke
Für eine gespannte Saite mit linearer Massendichte μ, Zugkraft FT und viskosem Verlustkoeffizienten b wird die verlustfreie Gleichung aus K06 um einen geschwindigkeitsproportionalen Term erweitert.
μ ψtt + b ψt = FT ψxx
c = √(FT/μ) · γ = b/(2μ)
ψtt + 2γ ψt = c² ψxx
γ hat die Einheit s⁻¹ und ist die zeitliche Amplituden-Abklingrate der unterkritisch gedämpften freien Moden.
u = ½ μ ψt² + ½ FT ψx²
P = −FT ψt ψx
Dieselben Größen wie in K06 bleiben gültig. Neu ist, dass die Bilanz nicht mehr quellenfrei ist.
∂u/∂t + ∂P/∂x = −b ψt²
−b ψt² ≤ 0
Der Dissipationsterm bψt² ist lokal nichtnegativ; mit dem Minuszeichen wirkt er als Energiesenke und überträgt mechanische Wellenenergie irreversibel in andere Freiheitsgrade des Mediums.
Anschluss: M02K06 · Energy transport lieferte die verlustfreie Kontinuitätsgleichung. Der Term −bψt² macht aus ihr jetzt eine Bilanz mit Dissipation.
02 · Zwei Spektralbilder
Zeitdämpfung und Raumattenuation entstehen aus derselben PDE — aber mit unterschiedlichen Vorgaben
Ob eine komplexe Frequenz oder eine komplexe Wellenzahl erscheint, hängt davon ab, welche Größe als reell vorgegeben wird. Diese Trennung verhindert, γ und α vorschnell gleichzusetzen.
ω = ±√(c²k² − γ²) − iγ
A(t) = A₀ e−γt
Für ck > γ oszilliert die Mode weiter, während ihre Hüllkurve exponentiell abnimmt. Bei ck ≤ γ verschwindet der oszillatorische Anteil dieser einfachen Modenlösung.
k = kr + iα
ψ = A₀ e−αx cos(krx − ωt)
α > 0 ist der räumliche Amplituden-Attenuationskoeffizient. Eine stationär angeregte Welle verliert mit wachsendem Weg Amplitude und gemittelten Energiefluss.
γ/ω ≪ 1
kr ≈ ω/c
α ≈ γ/c
Diese Näherung ist nützlich, aber nicht fundamental. Außerhalb des Schwachverlustbereichs muss die komplexe Wellenzahl aus der vollständigen Dispersionsrelation berechnet werden.
03 · Komplexe Wellenzahl
Die imaginäre Komponente von k setzt die räumliche Verlustskala
Setzt man eine reelle Anregungsfrequenz ω in die gedämpfte Wellengleichung ein, folgt c²k² = ω² + 2iγω. Aus der komplexen Quadratwurzel ergeben sich Phasenfortschritt und Attenuation gleichzeitig.
R = √(ω⁴ + 4γ²ω²)
kr = (1/c) √[(R + ω²)/2]
α = (1/c) √[(R − ω²)/2]
ℓA = 1/α
A(ℓA)/A₀ = e⁻¹
Nach einer Amplitudenlänge bleibt 36,8 % der ursprünglichen Amplitude.
⟨P(x)⟩/⟨P(0)⟩ = e−2αx
ℓP = 1/(2α)
Da der gemittelte Fluss quadratisch mit der Amplitude skaliert, ist seine e-Faltungslänge halb so groß.
04 · Interactive Lab
Damping & Attenuation Lab
Eine harmonisch angeregte 1D-Welle wird als exakte stationäre Lösung der gedämpften Wellengleichung ausgewertet. Variiere c, f und γ; vergleiche die exakte räumliche Attenuation mit der Schwachverlustnäherung α ≈ γ/c und beobachte, wie Amplitude und gemittelter Leistungsfluss verschieden schnell fallen.
Stationäre Anregung · reales ωψ(x,t) = A₀e−αx cos(krx − ωt)
läuft
ω7.540 rad/s
kr2.695 rad/m
α exakt0.089 m⁻¹
α ≈ γ/c0.089 m⁻¹
A(x*)/A₀0.641
⟨P(x*)⟩/⟨P₀⟩0.411
Räumliche ZerfallsgesetzeAmplitude und Leistungsfluss
A/A₀ = e−αx⟨P⟩/⟨P₀⟩ = e−2αx
Zeit vs. RaumAbkling-Skalen desselben Verlustparameters
Zeit-Hüllkurvee−γt = 1.000
Raum-Hüllkurvee−αx = 0.641
Raum-Leistungsflusse−2αx = 0.411
τA = 1/γ4.000 s
ℓA = 1/α11.22 m
γ/ω0.033
αc/γ0.999
Direkte Beobachtung
Ein kleineres Feldsignal kann zwei völlig verschiedene Ursachen haben
Bei schwachem Verlust liegt α nahe γ/c. Die Amplitude fällt mit e−αx, der gemittelte Leistungsfluss dagegen mit e−2αx.
05 · Bedeutung und Grenzen
Materialverlust, Dispersion und geometrische Ausbreitung sind getrennte Mechanismen
Eine gemessene Amplitudenabnahme allein verrät noch nicht, warum ein Signal kleiner wird. K08, K09 und K10 behandeln drei mathematisch verschiedene Ursachen.
Spektralkomponenten laufen unterschiedlich. Ein Paket kann breiter und niedriger werden, obwohl seine Norm im verlustfreien Modell erhalten bleibt.
Die Energiebilanz enthält eine negative Senke. Eine stationäre 1D-Welle trägt mit wachsendem Weg tatsächlich weniger Leistung.
Auch ohne Materialverlust kann Amplitude sinken, wenn sich dieselbe Leistung auf eine wachsende Wellenfront verteilt. Das folgt als Nächstes.
Rückblick: M01K05 · Damping behandelte Dissipation am einzelnen Oszillator; M02K08 · Dispersion zeigte verlustfreie Paketverbreiterung. K09 überträgt Dissipation auf ein ausgedehntes Wellensystem.
06 · K09 in vier Aussagen
Dämpfung ist eine Energiesenke; Attenuation ist ihre räumliche Signatur
Der Term −bψt² macht die dissipierte Leistung pro Länge explizit und kann nie positiv werden.
Reales k führt bei freien Moden zu komplexem ω; reales ω bei stationärer Anregung zu komplexem k.
Bei räumlicher Attenuation fällt A mit e−αx, der gemittelte Leistungsfluss mit e−2αx.
Die einfache Umrechnung gilt im Schwachverlustbereich γ/ω ≪ 1, nicht als allgemeine Identität.
M02 · K10
1D → 2D → 3D
1D → 2D → 3D
propagation
K09 ließ eine ebene 1D-Welle durch Materialverluste schwächer werden. K10 entfernt diesen Verlust zunächst wieder und ändert stattdessen die Geometrie: Dieselbe transportierte Leistung verteilt sich in zwei oder drei Dimensionen auf eine mit dem Abstand wachsende Wellenfront.
01 · Radiale Erhaltung
Die Wellenfront wächst — die Gesamtleistung nicht
Für radialen, quellenfreien Transport in d räumlichen Dimensionen kann die lokale Energiebilanz als radiale Kontinuitätsgleichung geschrieben werden. Im stationären verlustfreien Fall muss der gesamte nach außen gerichtete Leistungsstrom durch jede Wellenfront gleich bleiben.
∂u/∂t + r−(d−1) ∂[rd−1I]/∂r = 0
stationär: rd−1I(r) = const
I bezeichnet die radiale Leistungsflussdichte. Der Faktor rd−1 repräsentiert das Wachstum des Wellenfrontmaßes.
I(r)/I(r₀) = (r₀/r)d−1
Der dimensionsabhängige Exponent kommt allein aus der Geometrie, nicht aus Dissipation.
I ∝ A²
A(r)/A(r₀) = (r₀/r)(d−1)/2
Diese Amplitudenskalierung setzt dasselbe Medium bzw. dieselbe lokale Impedanz entlang des Ausbreitungswegs voraus.
Anschluss: M02K06 · Energy transport definierte den Leistungsfluss; M02K09 · Damping and attenuation fügte einen echten Verlustterm hinzu. K10 hält diese Mechanismen getrennt.
02 · Drei Geometrien
Planar, zylindrisch, sphärisch: derselbe Erhaltungssatz, anderer Exponent
Die absoluten Flächenfaktoren sind für die normierten Gesetze unwichtig. Entscheidend ist, wie das Wellenfrontmaß mit r wächst.
I/I₀ = 1A/A₀ = 1
Eine ideale ebene Welle in konstantem Querschnitt wird durch Geometrie allein nicht schwächer.
I/I₀ = r₀/rA/A₀ = √(r₀/r)
Für eine lange Linienquelle gilt die Skalierung pro axialer Längeneinheit. Die lokale Amplitude fällt nur mit r−1/2.
I/I₀ = (r₀/r)²A/A₀ = r₀/r
Für eine isotrope Punktquelle verteilt sich dieselbe Gesamtleistung auf eine Kugeloberfläche, die quadratisch mit r wächst.
03 · Geometrie + Materialverlust
Zwei unabhängige Faktoren multiplizieren sich
Wenn zusätzlich der Attenuationskoeffizient α aus K09 wirkt, bleibt die geometrische Potenzregel erhalten und wird mit dem exponentiellen Materialverlust multipliziert.
A/A₀ = (r₀/r)(d−1)/2 e−α(r−r₀)
Potenzgesetz = Geometrie. Exponentialgesetz = Dissipation. Beide Ursachen bleiben mathematisch identifizierbar.
I/I₀ = (r₀/r)d−1 e−2α(r−r₀)
Der Exponent des Materialterms verdoppelt sich, weil die Flussdichte quadratisch mit der Amplitude skaliert.
Π/Π₀ = e−2α(r−r₀)
Das Frontwachstum kürzt sich aus der Gesamtleistung heraus. Für α = 0 bleibt Π exakt konstant.
04 · Interactive Lab
Geometric Spreading Lab
Wechsle zwischen 1D, 2D und 3D, verschiebe Referenz- und Probeabstand und schalte bei Bedarf einen Materialverlust hinzu. Das Lab trennt Frontwachstum, geometrische Verdünnung und Attenuation numerisch und visuell.
Wellenfrontgeometrie3D · sphärische Fronten
läuft
Dimension d3
Frontwachstum64.000×
Geometrie A/A₀0.125
Geometrie I/I₀0.016
Gesamt A/A₀0.125
Gesamt I/I₀0.016
Radiales SkalengesetzAmplitude, Flussdichte und Geometrie-Referenz
Geometrie AA gesamtI gesamt
FaktorzerlegungGeometrie und Materialverlust getrennt
Geometriefaktor A0.125
Materialfaktor A1.000
Gesamtamplitude0.125
Gesamtflussdichte0.016
Δr7.00 m
Π/Π₀1.000
Exponent d−12
GesetzI ∝ r⁻²
3D: Kugelfläche wächst quadratisch
Bei α = 0 bleibt die Gesamtleistung konstant. Am Probeort ist die Wellenfront 64-mal größer als bei r₀; deshalb fällt die Flussdichte auf 1/64 und die Amplitude auf 1/8.
05 · Bedeutung und Grenzen
Die Potenzgesetze sind Fernfeld- und Symmetrieaussagen
Die Skalierungen sind leistungsstark, aber nicht universell. Sie setzen voraus, dass die Wellenfront ungefähr planar, zylindrisch oder sphärisch bleibt und dass keine fokussierenden Grenzen oder starken Inhomogenitäten den Fluss umlenken.
Punkt- und Linienquellen besitzen im Nahfeld zusätzliche reaktive oder quellnahe Struktur. Das einfache Fernfeldgesetz beginnt erst außerhalb dieser Zone.
Die 2D-Skalierung beschreibt idealisierte Linienquellen bzw. Leistung pro axialer Länge. Eine reale endliche Quelle geht in großer Entfernung typischerweise in 3D-Verhalten über.
Reflexion, Wellenleiter, Schichtung und Brechung verändern die Wellenfrontgeometrie. Solche Medien- und Randbedingungen werden in späteren Modulen separat behandelt.
06 · M02 in vier Aussagen
Aus lokaler Kopplung wird räumlicher Transport mit Phase, Energie und Geometrie
Die Wellengleichung koppelt lokale Zustände räumlich und erzeugt fortschreitende Lösungen mit k, ω und Phasengeschwindigkeit.
Wellen transportieren Energie; in dispersiven Systemen bestimmt die lokale Steigung dω/dk die Bewegung schmalbandiger Hüllkurven.
Dispersion verteilt ein Paket, Dämpfung vernichtet Wellenenergie. Beide Mechanismen haben unterschiedliche mathematische Signaturen.
Auch verlustfreie Wellen können lokal schwächer werden, wenn dieselbe Leistung auf ein wachsendes Wellenfrontmaß verteilt wird.