∂ρ′/∂t + ρ₀ ∂u/∂x = 0
Kompression entsteht dort, wo benachbarte Fluidteilchen aufeinander zulaufen. u ist die akustische Teilchengeschwindigkeit, nicht die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.
M05K01 · Schall als Druckwelle
Schall ist keine wandernde Stoffportion, sondern eine laufende Druck- und Dichtestörung.
In einem ruhenden Fluid zerlegen wir den Zustand in Gleichgewicht und kleine akustische Störung. Lokale Verdichtung erhöht Druck und Dichte; Verdünnung senkt beide. Die Fluidteilchen selbst oszillieren nur um ihre Ruhelage, während sich das Störungsmuster durch das Medium fortpflanzt.
01 · Von der Fluidbilanz zur Welle
Drei linearisierte Beziehungen schließen sich zur Druckwellengleichung
Für ein homogenes, ruhendes, nichtviskoses Fluid betrachten wir kleine Störungen um p₀,ρ₀. Die Kontinuitätsgleichung koppelt Dichte und Teilchenbewegung, die Impulsbilanz koppelt Bewegung und Druckgradient, und die lokale Zustandsgleichung koppelt Druck und Dichte.
ρ₀ ∂u/∂t = −∂p′/∂x
Ein räumlicher Druckgradient beschleunigt das Medium. Die detaillierte Phasen- und Amplitudenrelation zwischen p′ und u folgt in K02.
p′ = c²ρ′
Für kleine, schnelle akustische Störungen ist c²=(∂p/∂ρ)s. K03 untersucht, wovon diese Schallgeschwindigkeit physikalisch abhängt.
ρ′ und u eliminierenDruckwellengleichung
∂²p′/∂t² = c² ∂²p′/∂x²
Damit besitzt die akustische Druckstörung exakt die in M02 eingeführte 1D-Wellenstruktur. Für eine ebene harmonische Welle ist etwa p′=p̂ cos(kx−ωt+φ) mit ω=ck.
02 · Musterbewegung vs. Materiebewegung
Das Muster läuft mit c; die Materie pendelt lokal
Das ist die zentrale begriffliche Trennung für Akustik: Der Wellenberg im Druckfeld ist kein Paket derselben Moleküle. Teilchen werden nur gering aus ihrer Gleichgewichtslage verschoben und geben Impuls/Energie an Nachbarn weiter.
Druck an einem Ort
Ein festes Messmikrofon registriert p′(xMesspunkt,t). Der lokale Druck oszilliert, obwohl das Mikrofon nicht mit der Welle mitläuft.
Teilchen um ihre Ruhelage
Ein Fluidteilchen besitzt eine kleine Verschiebung ξ(x,t). Verdichtung entspricht ∂ξ/∂x<0; das Teilchen wandert nicht über eine Wellenlänge mit.
Druck und Dichte gemeinsam
Im linearen Modell gilt ρ′=p′/c². Positive Druckstörung ist zugleich positive Dichtestörung — Kompression; negative Störung ist Rarefaktion.
Darstellungsmaßstab
Die Teilchenverschiebung im Lab wird gegenüber der räumlichen x-Achse stark vergrößert. Die physikalische Verschiebungsamplitude wird separat in µm angegeben und aus denselben Live-Parametern berechnet.
03 · Interaktives Labor
Schalldruck-Labor
Eine ebene harmonische Druckwelle läuft in +x-Richtung durch ein ideales Fluid. Druckkurve, Dichteänderung, Teilchenpositionen und Probe-Zeitspur werden aus demselben Zustand berechnet. Das Fenster ist 2,4 m lang; die Teilchenverschiebung wird mit 0,5 px/µm vergrößert dargestellt.
Druckfeldp′(x,t) im 2,4-m-Fenster
lineares Regime
TeilchenbildKompression und Rarefaktion aus longitudinaler Verschiebung
ρ′ am Messpunkt—
Fester Messpunktp′(xMesspunkt,t) über eine Periode
ZustandszerlegungGleichgewicht + kleine Störung
Gesamtdruck am Messpunkt—p₀ + p′ · p₀ = 101325 Pa
relative Druckstörung—|p′|/p₀
relative Dichtestörung—|ρ′|/ρ₀
Teilchenverschiebung am Messpunkt—ξ(xMesspunkt,t)
λ = c/f—Wellenlänge
k = 2π/λ—Wellenzahl
ω = 2πf—Kreisfrequenz
ρ̂ = p̂/c²—Dichteamplitude
ξ̂—Teilchenauslenkung der ebenen Welle
p′(Messpunkt)—momentaner Schalldruck
—
—
Zustandskonsistenzρ′ − p′/c² = 0
Wellenkonsistenzω − ck = 0
Rückbezug: M02K02 · Laufende Wellen lieferte die laufende Form f(x−ct); M02K06 · Energietransport trennte Materiebewegung und Energietransport. K01 spezialisiert diese Struktur auf die akustische Druckstörung. Vorausblick: M05K02 · Druck und Teilchengeschwindigkeit untersucht die gekoppelte Größe u quantitativ.
04 · K01 in vier Aussagen
Akustik beginnt mit einer kleinen Störung um einen stationären Zustand
Das Mikrofon misst eine kleine dynamische Abweichung auf einem großen statischen Hintergrunddruck.
In einem Fluid oszilliert die Teilchenverschiebung parallel zur Ausbreitungsrichtung.
Im linearen Modell gilt p′=c²ρ′: Druck- und Dichtestörung tragen dieselbe Raum-Zeit-Struktur.
Das Druckmuster propagiert über viele Wellenlängen, während einzelne Fluidteilchen nur kleine lokale Schwingungen ausführen.
M05K02 · Druck und Teilchengeschwindigkeit
Druck sagt, wie stark das Fluid komprimiert ist; Teilchengeschwindigkeit sagt, wohin es sich gerade bewegt
K01 führte p′ und u über Kontinuität und Impulsbilanz ein. Für eine einzelne ebene Laufwelle erzwingen diese Gleichungen eine feste Amplituden- und Phasenrelation. Erst eine Rückwärtswelle bricht diese lokale Proportionalität auf und erzeugt die typische räumliche Verschiebung zwischen Druck- und Geschwindigkeitsknoten.
p⁺=p̂⁺ cos(kx−ωt)
u⁺=+p⁺/(ρ₀c)
u⁺=+p⁺/(ρ₀c)
Druck und Teilchengeschwindigkeit sind phasengleich. Positive u zeigt in dieselbe Richtung wie die Ausbreitung.
p⁻=p̂⁻ cos(kx+ωt+φ)
u⁻=−p⁻/(ρ₀c)
u⁻=−p⁻/(ρ₀c)
Der Vorzeichenwechsel ist Richtungsinformation: dieselbe positive Druckstörung gehört bei einer nach −x laufenden Welle zu negativer Teilchengeschwindigkeit.
p′=p⁺+p⁻
u=(p⁺−p⁻)/(ρ₀c)
u=(p⁺−p⁻)/(ρ₀c)
Gegenläufige Anteile addieren sich im Druck, aber subtrahieren sich in der Geschwindigkeit. Deshalb liegen Druck- und Geschwindigkeitsknoten einer stehenden Struktur nicht am selben Ort.
Eine laufende Welle
p̂⁺/û⁺=ρ₀c. Diese Ebenenwellen-Kopplungsskala ist in K04 als Spezialfall der akustischen Impedanz eingeordnet.
Mit Reflexion
Der lokale Quotient p′/u ist zeit- und ortsabhängig und kann bei u=0 sogar divergieren. Die korrekte Impedanzanalyse arbeitet deshalb mit komplexen Phasoren, nicht mit einem momentanen Quotienten.
Interaktives Labor · Die Richtung steckt im Vorzeichen
Druck–Geschwindigkeits-Kopplungslabor
Eine ebene Druckwelle läuft nach +x auf einen Abschluss bei x=L=2,4 m. Der reelle Druck-Reflexionskoeffizient Γp wird hier direkt vorgegeben: 0 bedeutet keine Rückwärtswelle, +1 die starre Grenzlage und −1 die druckfreie Grenzlage. K04 leitet diese Grenzfälle aus einer Abschlussimpedanz ab.
Räumliches FeldDruck und skalierte Teilchengeschwindigkeit
rein laufend
Fester MesspunktZeitspur über eine Periode
Lokale Phasorenp̂ und z₀û am Messpunkt
Randbedingungszustand · x=LWas Γp am Abschluss erzwingt
Γp—vorgegebene Druckreflexion
|p(L)| / p̂⁺—|1+Γp|
|u(L)|—|1−Γp| · p̂⁺/z₀
Grenzlage—K04 liefert die Impedanzursache
λ=c/f—Wellenlänge
z₀=ρ₀c—Ebenenwellen-Kopplungsskala
û⁺=p̂⁺/z₀—Einfalls-Geschwindigkeitsamplitude
|p̂| am Messpunkt—Druckphasor
|û| am Messpunkt—Teilchengeschwindigkeit
Δφ(p,u)—lokale Phasendifferenz
—
—
Vorwärtswellen-Konsistenz—
Rückwärtsvorzeichen-Konsistenz—
Wichtige Messregel: Ein momentaner Quotient p′(t)/u(t) ist bei überlagerten Wellen kein robuster Impedanzbegriff. K04 wechselt deshalb zur komplexen Phasorimpedanz z=p̂/û.
Rückbezug: M05K01 lieferte Kontinuität und Impulsbilanz; M02K04 · Stehende Wellen zeigte die allgemeine Gegenwellenstruktur. Vorausblick: M05K03 erklärt die Materialabhängigkeit von c; M05K04 formalisiert die Druck-/Geschwindigkeitsrelation als akustische Impedanz.
K02 · Vier Aussagen
Teilchengeschwindigkeit macht die Ausbreitungsrichtung sichtbar
Für die Vorwärtswelle gilt u⁺=+p⁺/(ρ₀c).
Für die Rückwärtswelle gilt u⁻=−p⁻/(ρ₀c).
Druck addiert Gegenwellen, Geschwindigkeit subtrahiert sie.
Bei Reflexion braucht die lokale Relation komplexe Amplitude und Phase — Thema K04.
M05K03 · Schallgeschwindigkeit
Schallgeschwindigkeit ist das Verhältnis von rückstellender Steifigkeit zu bewegter Trägheit
K01 schrieb die lokale Schließung als p′=c²ρ′. Jetzt wird sichtbar, was in c steckt: Ein Medium reagiert auf Kompression mit einer rückstellenden Spannung, während seine Massendichte der Beschleunigung entgegenwirkt. Für einen gegebenen longitudinalen Modus bestimmt dieses Verhältnis die Ausbreitungsgeschwindigkeit.
c = √(M/ρ)
M ist der für den betrachteten longitudinalen Modus wirksame Modul. Größeres M erhöht, größere Dichte ρ senkt c — jeweils bei sonst gleichen Parametern.
M = Ks
c² = Ks/ρ₀
c² = Ks/ρ₀
Für ein Fluid ist der relevante Modul der adiabatische Volumenmodul Ks=ρ(∂p/∂ρ)s. Die akustische Störung ist schnell genug, dass Wärmeausgleich im idealisierten Grenzfall vernachlässigt wird.
M = K + 4G/3
cP = √[(K+4G/3)/ρ]
cP = √[(K+4G/3)/ρ]
Ein Festkörper kann zusätzlich Schubspannung tragen. Deshalb ist „die“ Schallgeschwindigkeit dort modenabhängig; für eine isotrope P-Welle geht neben dem Volumenmodul auch der Schubmodul G ein.
stifferM ↑
Bei fester Dichte wächst c∝√M. Vierfacher Modul → doppelte Geschwindigkeit.
mehr Trägheitρ ↑
Bei festem Modul gilt c∝1/√ρ. Vierfache Dichte → halbe Geschwindigkeit.
gleiches Mediumλ = c/f
In einem nichtdispersiven Bereich ändert die Frequenz nicht c, sondern die Wellenlänge.
Thermodynamische Konsistenz · ideales Gas
Beim idealen Gas verschwinden Druck und Dichte aus der Endformel
Für eine reversible adiabatische Kleinstörung gilt Ks=γp₀. Mit der idealen Gasgleichung p₀=ρ₀RsT erhält man direkt eine Temperatur- und Zusammensetzungsabhängigkeit.
adiabatische SteifigkeitKs=γp₀
ideales Gasp₀=ρ₀RsT
resultc=√(γRsT)
Mehr Druck heißt nicht automatisch schnellerer Schall
Bei gleicher Temperatur und Zusammensetzung steigen im idealen Gas Ks und ρ proportional mit dem Druck. Ihr Quotient — und damit c² — bleibt gleich.
Für feste Zusammensetzung gilt c ∝ √T
Eine höhere absolute Temperatur erhöht die typische molekulare Geschwindigkeit und damit die Geschwindigkeit kleiner Druckstörungen. Die Quadratwurzel macht den Zusammenhang deutlich nichtlinear.
Rs und γ gehören zum Medium
Gaszusammensetzung verändert sowohl die spezifische Gaskonstante als auch das Wärmekapazitätsverhältnis. „Schallgeschwindigkeit in Luft“ ist deshalb immer an einen thermodynamischen Zustand und eine Zusammensetzung gebunden.
Gültigkeitsgrenze
Die einfachen Formeln dieses Kapitels beschreiben kleine, lineare und lokal nichtdispersive Störungen. Relaxationsprozesse, starke Dämpfung, Mehrphasenmedien oder sehr hohe Frequenzen können M komplex und frequenzabhängig machen; dann ist c nicht mehr eine einzige konstante Zahl.
Interaktives Labor · stiffness versus inertia
Labor zu Schallgeschwindigkeit und Laufzeit
Das Lab behandelt M als effektiven longitudinalen Modul des gewählten Modus. Die Regler für ρ und M sind logarithmisch, damit gasartige, flüssige und steife Festkörper-Zustände in einem gemeinsamen Parameterraum sichtbar werden. Die Voreinstellungen sind illustrative Referenzzustände, keine universellen Materialkonstanten.
MaterialkarteSteifigkeit gegen Trägheit
c = 343 m/s
horizontal ρ [kg/m³] · logarithmische Skalavertical M [Pa] · logarithmische Skaladashed iso-c: 300 · 1500 · 6000 · 20000 m/sair water steel P
LaufzeitGleiche Zeit, unterschiedliche Frontposition
WellenlängenfensterFrequenz ändert λ, nicht c
Schallgeschwindigkeit c—√(M/ρ)
Wellenlänge λ—c/f
Laufzeit d/c—einfacher Weg
ρc—z₀ · K04
Phasenzyklen d/λ—f·d/c
c²—M/ρ
—
—
Materialgesetz-Konsistenz—
Laufzeit-Konsistenz—
Rückbezug: M05K01 führte p′=c²ρ′ ein; M05K02 verwendete ρc als Laufwellen-Kopplungsskala. Vorausblick: M05K04 macht daraus die akustische Impedanz; M02K08 · Dispersion zeigt, was geschieht, wenn c frequenzabhängig wird.
K03 · Vier Aussagen
Schallgeschwindigkeit ist eine Zustands- und Modeneigenschaft des Mediums
Bei festem ρ steigt c mit der Quadratwurzel des wirksamen longitudinalen Moduls.
Bei festem Modul sinkt c mit 1/√ρ.
Im idealen Gas gilt c=√(γRsT); Druck und Dichte kürzen sich bei festem Zustandspfad.
Schubsteifigkeit erzeugt zusätzliche Wellentypen; eine einzelne universelle „Festkörper-Schallgeschwindigkeit“ gibt es nicht.
M05K04 · Akustische Impedanz
Akustische Impedanz ist die komplexe Druck–Geschwindigkeitsrelation eines harmonischen Feldes
K02 zeigte die Richtungsregel zwischen Schalldruck und Teilchengeschwindigkeit für einzelne Laufwellen. K04 verallgemeinert diese Kopplung im Frequenzbereich: Aus den Phasoren p̂ und û entsteht eine komplexe spezifische Impedanz, deren Betrag die Amplitudenrelation und deren Argument die Phasenverschiebung enthält.
z(x,ω) = p̂(x,ω) / û(x,ω)
Einheit: Pa·s/m, traditionell auch rayl. Die Definition bezieht sich auf komplexe harmonische Amplituden — nicht auf den momentanen Quotienten p′(t)/u(t).
z₀ = ρ₀ c
Für eine ebene, verlustfreie Laufwelle ist die spezifische Impedanz reell, positiv und ortsunabhängig. Genau diese Größe erschien in K02 zunächst nur als Kopplungsskala.
Û = A û ⇒ Zₐ = p̂/Û = z/A
In Rohren, Ports und Lumped-Modellen wird oft Zₐ in Pa·s/m³ verwendet. Ohne Angabe der Fläche A sind z und Zₐ nicht austauschbar.
Phasorkonvention
Wir schreiben reale Signale als Re{p̂ eiωt} und Re{û eiωt}. Damit bedeutet arg z > 0, dass der Druckphasor gegenüber der Teilchengeschwindigkeit vorauseilt. Ein anderer Zeitfaktor ändert Vorzeichenkonventionen für Imaginärteile, nicht die beobachtbare Physik.
01 · Abschluss und Reflexion
Ein Abschluss reflektiert genau dann, wenn seine Impedanz nicht zu z₀ passt
Für eine ebene Welle in Medium 1 endet der betrachtete Bereich an einer Last mit spezifischer Impedanz zL. Druck ist am Abschluss die Summe aus Hin- und Rückwelle; bei der Teilchengeschwindigkeit trägt die Rückwelle wegen ihrer umgekehrten Ausbreitungsrichtung ein Minuszeichen.
p̂L = p̂+ + p̂−ûL = (p̂+ − p̂−)/z₀
Die Lastbedingung lautet p̂L=zLûL.
Γp,L = (zL − z₀)/(zL + z₀)
zL=z₀ ergibt Γ=0. Ein druckfreier Grenzfall zL=0 ergibt Γ=−1. Für passive Lasten mit Re zL≥0 gilt |Γ|≤1.
Γu,L = −Γp,L
Das Minuszeichen ist keine zusätzliche Randbedingung, sondern folgt aus der Richtungsregel von K02.
angepasstzL/z₀ = 1Γ = 0
druckfreizL/z₀ = 0Γ = −1
purely reactiveRe zL = 0|Γ| = 1
starrer Grenzfall|zL| → ∞Γ → +1
02 · Lokale Feldimpedanz
Vor dem Abschluss rotiert Γ mit dem Ort — und damit auch die lokale Impedanz
Sei d=L−x der Abstand rückwärts vom Abschluss. In einem verlustfreien homogenen Medium behält der Reflexionskoeffizient seinen Betrag, sammelt aber auf Hin- und Rückweg Phase. Die Möbius-Abbildung von Γ nach z/z₀ macht daraus eine ortsabhängige komplexe Impedanz.
Reflexion an der LastΓLdurch z festgelegtL/z₀
→
Phase stromaufwärtsΓ(d)=ΓLe−i2kd|Γ| bleibt konstant
→
Lokale Impedanzz(d)/z₀ = (1+Γ)/(1−Γ)Feldverhältnis p̂/û
Wichtig:
z(d) ist in einem reflektierten Feld keine neue Materialkonstante. Bei einem Geschwindigkeitsknoten kann û→0 und damit |z|→∞; an einem Druckknoten kann z→0. Das Medium selbst besitzt weiterhin dasselbe ρ₀ und c.
03 · Akustische Impedanz- und Reflexions-Labor
Lastimpedanz → Γ → lokales Druck-/Geschwindigkeitsverhältnis
Das Lab arbeitet ausschließlich mit passiven oder rein reaktiven Lasten Re(zL)≥0. Die Last wird normiert auf z₀=ρ₀c; Frequenz und Beobachtungsabstand bestimmen anschließend nur die räumliche Phasenrotation zwischen Last und Probe.
Stehendes Feldmuster|p̂| und |z₀û| stromaufwärts der Last
angepasst
|p̂|/|p̂⁺||z₀û|/|p̂⁺|gewählte Sondehorizontal: d/λ von 1 → 0
ReflexionsebeneΓL und phasengedrehtes Γ(d)
ΓLΓ(d)gestrichelt: konstantes |Γ|
Lokale Phasorenz(d)=p̂/û an der gewählten Sonde
p̂z₀ûVerhältnis: z/z₀ = p̂/(z₀û)
Characteristic z₀—ρ₀c
Load zL—spezifische Impedanz
Γp,L—Betrag ∠ Phase
Lokales z(d)—p̂/û
Volumenstrom-Zₐ,L—zL/A
λ / physikalisches d—Phasenkoordinate
—
—
Lastgrenzen-Konsistenz—
Impedanztransformations-Konsistenz—
Passivitätsgrenze—
Rückbezug: M05K02 lieferte die Vorzeichenstruktur von p̂± und û±; M05K03 bestimmte c. Brücke zum universellen Kern: M04K04 · Wellenimpedanz formuliert dieselbe Struktur domänenunabhängig. Vorausblick: M05K05 trennt aus p̂ und û den zeitgemittelten Leistungsfluss.
K04 · Vier Aussagen
Impedanz verbindet Medium, Abschluss und lokales Interferenzfeld — aber diese drei Rollen sind nicht identisch
Für die verlustfreie ebene Welle gilt z₀=ρ₀c. Sie ist reell und positiv.
Die Lastimpedanz entscheidet über Betrag und Phase der Druckreflexion.
Mit Reflexion rotiert Γ räumlich; dadurch kann p̂/û lokal von null bis sehr groß reichen.
z=p̂/û und Zₐ=p̂/Û=z/A haben verschiedene Einheiten und Anwendungen.
M05K05 · Schallintensität und Leistung
Druck und Teilchengeschwindigkeit tragen Energie — Intensität misst ihren gerichteten Fluss
K04 beschrieb mit p̂/û die lokale Feldimpedanz. Für Energie ist dagegen das Produkt entscheidend: Druck verrichtet Arbeit an einer bewegten Fluidfläche. Momentan kann dieser Leistungsfluss vor- und zurückschwingen; erst die Zeitmittelung trennt dauerhaft transportierte von nur lokal hin- und hergetauschter Energie.
i(x,t)=p′(x,t)u(x,t)
i ist die momentane akustische Intensität in W/m². Ihr Vorzeichen kodiert die momentane Flussrichtung.
Ī = ½ Re{p̂û*}
Für sinusförmige stationäre Felder ist der Realteil der komplexen Intensität der dauerhaft transportierte mittlere Leistungsfluss.
Ic = ½p̂û* = Ī + jIr
Ir ist reaktive Intensität: lokale Energiespeicherung und Rückgabe ohne Netto-Transport über eine Periode.
Amplitudenkonvention
Wie in K04 sind p̂ und û komplexe Peak-Phasoren zur Zeitkonvention Re{…eiωt}. Deshalb steht im Zeitmittel der Faktor ½. Für einen reinen Sinus gilt prms=|p̂|/√2.
01 · Fortschreitende Welle und Reflexion
Eine Laufwelle transportiert Energie; eine Gegenwelle zieht Fluss ab
Im verlustfreien homogenen Medium mit z₀=ρ₀c zerlegen wir das Feld in Vorwärts- und Rückwärtswelle. Die Interferenz verändert lokale Druck- und Geschwindigkeitsamplituden stark, aber der aktive Nettofluss bleibt entlang x konstant.
Ī⁺ = |p̂⁺|²/(2z₀)
= z₀|û⁺|²/2
= z₀|û⁺|²/2
Für eine einzelne ebene Welle sind Druck und Teilchengeschwindigkeit phasengleich. Mit RMS-Druck folgt auch Ī⁺=p²rms/z₀.
Ī⁻ = −|p̂⁻|²/(2z₀)
= −|Γ|² Ī⁺
= −|Γ|² Ī⁺
Das Minuszeichen ist echte Richtung: Die reflektierte Welle transportiert mittlere Energie nach −x.
Ī = Ī⁺ + Ī⁻
= Ī⁺(1−|Γ|²)
= Ī⁺(1−|Γ|²)
Bei |Γ|=1 entsteht ein stehendes, verlustfreies Feld mit Ī=0, obwohl p, u und die momentane Intensität nicht null sein müssen.
Interferenzterm
In ½p̂û* sind die Vorwärts-/Rückwärts-Kreuzterme rein imaginär. Sie verschwinden daher aus dem aktiven Mittelwert, bestimmen aber den ortsabhängigen reaktiven Anteil Ir.
02 · Intensität ist lokal, Leistung wird integriert
Leistung zählt den gesamten Fluss durch eine Fläche
Intensität ist eine Flächendichte. Akustische Leistung entsteht erst durch Integration des normalen Intensitätsanteils über eine Fläche. Damit kann dieselbe Quellenleistung auf größere Flächen verteilt eine kleinere lokale Intensität erzeugen.
Lokales FeldĪ [W/m²]gerichteter mittlerer Fluss
OberflächenintegralP = ∫A Ī·n dAGesamtleistung durch A
Gleichförmiges NormalfeldP = ĪAebene Welle / gleichmäßige Apertur
Fläche skaliert Leistung
Bei gleicher Intensität verdoppelt doppelte Fläche die transportierte Leistung. Umgekehrt halbiert gleiche Leistung auf doppelter Fläche die mittlere Intensität.
Geometrie verteilt Leistung
Für eine ideale isotrope Quelle im verlustfreien Fernfeld gilt Ī(r)=P/(4πr²). Der 1/r²-Abfall ist geometrische Verteilung, keine Dissipation.
Verlust ist etwas anderes
Wenn die durch geschlossene Flächen gemessene Leistung mit Entfernung sinkt, wirkt zusätzlich Dissipation/Absorption. Das ist von rein geometrischer Spreizung zu unterscheiden.
03 · Interaktives Labor
Intensitäts- und Leistungsfluss-Labor
Eine Vorwärtswelle mit Peak-Druck p̂⁺ trifft auf eine reflektierte Komponente Γpp̂⁺. Das Lab zeigt gleichzeitig momentane Intensität, aktive und reaktive komplexe Intensität sowie die daraus resultierende Leistung durch eine wählbare Fläche.
Räumliche FlussaufnahmeMomentane Intensität i(x,t) und aktiver Mittelwert Ī
—
momentanes i(x,t)aktiver Mittelwert ĪMesspunkt
Eine Periode an der Sondep(t), z₀u(t) und normierte Intensität
p / p̂⁺z₀u / p̂⁺i / I⁺
Komplexe IntensitätIc/I⁺ = aktiv + j reaktiv
Ī / I⁺Ir / I⁺
LeistungsbilanzVorwärts, rückwärts und netto durch A
Vorwärts—
Reflektiert—
Netto aktiv—
Fläche—P = ĪA
z₀ = ρ₀c—charakteristische Impedanz
Ī⁺—aktive Einfallsintensität
Ī net—Ī⁺(1−|Γ|²)
Ir an der Sonde—reaktive Intensität
prms⁺—einfallende Sinuswelle
P net—ĪA
—
—
Ebenenwellen-Konsistenz—
Nettofluss-Konsistenz—
Leistungskonsistenz—
Rückbezug: M05K02 zerlegte Druck und Teilchengeschwindigkeit in Vorwärts-/Rückwärtswellen; M05K04 führte z₀, Last und Reflexion ein. Universeller Rückbezug: M02K06 · Energietransport formulierte denselben Energiefluss abstrakt. Vorausblick: M05K06 · Dezibelskala macht aus Druck-, Intensitäts- und Leistungsverhältnissen logarithmische Pegel.
K05 · Vier Aussagen
Energiefluss verlangt immer Richtung, Zeitmittel und Bezugsfläche
Erst das Produkt aus Druck und Teilchengeschwindigkeit liefert momentanen akustischen Leistungsfluss.
Der Realteil von Ic=½p̂û* ist aktive Intensität; der Imaginärteil beschreibt reaktives Hin-und-her.
Im verlustfreien 1D-Feld gilt Ī=Ī⁺(1−|Γ|²). Vollständige Reflexion bedeutet null aktive Nettotransportleistung.
Leistung ist das Flächenintegral der Intensität. Geometrische Spreizung senkt Intensität, ohne notwendigerweise Energie zu vernichten.
M05K06 · Dezibelskala
Das Dezibel ist kein Schallzustand, sondern eine logarithmische Koordinate für ein Verhältnis
K05 lieferte Druck, Intensität und Leistung als physikalische Größen mit Einheiten. Ein Pegel macht daraus eine dimensionslose logarithmische Darstellung relativ zu einer ausdrücklich gewählten Referenz. Deshalb ist eine nackte Zahl wie „80 dB“ unvollständig, solange weder Größe noch Referenz klar sind.
LX = 10 log₁₀(X/Xref)
Für Leistung, Intensität oder andere bereits energie-/leistungsartige Größen steht der Faktor 10.
LA = 20 log₁₀(A/Aref)
Der Faktor 20 ist nur dann zulässig, wenn die relevante power-like Größe bei ansonsten gleichen Transferfaktoren proportional zu A² ist.
ΔL = 10 log₁₀ RP
= 20 log₁₀ RA
= 20 log₁₀ RA
Dasselbe Pegeldelta entspricht verschiedenen linearen Verhältnissen: RP=10ΔL/10, RA=10ΔL/20.
0 dB bedeutet Gleichheit mit der Referenz.
Es bedeutet weder „kein Schall“ noch „keine Leistung“. Negative dB-Werte sind ebenfalls vollkommen regulär: Die betrachtete positive Größe liegt dann unter ihrer Referenz.
01 · Welcher Logarithmus gehört zu welcher Größe?
10 oder 20 folgt aus der Physik hinter der Größe — nicht aus einer Merkhilfe über Einheiten
Für eine progressive ebene Schallwelle gilt aus K05 I=p²rms/z₀. Bleibt z₀ gleich, ist Intensität proportional zum Quadrat des RMS-Drucks. Erst diese quadratische Beziehung macht 20 log₁₀ für Schalldruckdifferenzen äquivalent zu 10 log₁₀ für Intensitätsdifferenzen.
Größe
Pegel
Typische Referenz
Bedingung / Bedeutung
RMS sound pressure prms
Lp=20 log₁₀(prms/pref)
20 µPa sind in Luft üblich; 1 µPa ist in Unterwasseranwendungen üblich
Die Referenz muss immer zusammen mit dem Zahlenwert angegeben werden.
Wirkintensität I
LI=10 log₁₀(I/Iref)
Iref=10⁻¹² W/m² is common
I muss für den Logarithmus ein positiver skalarer Betrag sein.
Schallleistung P
LW=10 log₁₀(P/Pref)
Pref=10⁻¹² W ist gebräuchlich
Leistung ist quellbezogen und nach der Integration unabhängig von der Empfängerfläche.
Leistung ×2
10 log₁₀2 = 3.0103 dB. Das zugehörige Amplitudenverhältnis ist nur √2 wenn Leistung ∝ Amplitude² gilt.
Amplitude ×2
20 log₁₀2 = 6.0206 dB. Das zugehörige leistungsartige Verhältnis ist dann 4.
Eine / zwei Leistungsdekaden
+10 dB bedeutet Leistung ×10 und Amplitude ×√10; +20 dB bedeutet Leistung ×100 und Amplitude ×10.
Vorzeichenbehaftete Intensität wird nicht direkt logarithmiert.
K05 verwendet das Vorzeichen der Wirkleistungsintensität zur Kodierung der Richtung. Für einen Pegel wird ein positiver Betrag mit angegebener Referenz verwendet; die Ausbreitungsrichtung bleibt separat erhalten. Im Grenzfall einer perfekten stehenden Welle kann die aktive Nettointensität null sein; dann ist ein endlicher Intensitätspegel nicht definiert.
02 · Addition und Vergleich
Pegel werden nicht addiert — zuerst muss die zugrunde liegende Physik kombiniert werden
Logarithmen komprimieren Dynamikbereich, verändern aber nicht die Additionsregeln des Systems. Unkorrelierte Quellen addieren ihre mittleren Leistungen bzw. Intensitäten linear. Kohärente Quellen müssen dagegen zunächst als komplexe Druckfelder überlagert werden; erst danach darf aus dem resultierenden RMS-Wert ein Pegel gebildet werden.
Zwei unabhängige gleiche LeistungenPΣ=P+P=2Plinearer Leistungsbereich
Verhältnis umrechnenΔL=10 log₁₀2not L + L
Result+3.0103 dBN gleiche unabhängige Quellen → +10 log₁₀N dB
Mittlere Leistungen addieren
Zufällige relative Phase lässt die Kreuzterme im Langzeitmittel verschwinden. Summiere P or I, danach wird logarithmiert.
Zuerst Phasoren addieren
Zwei gleich große Drücke können sich je nach Phase verstärken, auslöschen oder jeden Zwischenwert annehmen. Ihre dB-Werte allein kodieren diese Phasenbeziehung nicht.
Numerische dB-Werte sind nicht direkt vergleichbar
Ein Druckpegel bezogen auf 20 µPa, ein anderer bezogen auf 1 µPa und ein Leistungspegel bezogen auf 1 pW sind unterschiedliche Definitionen, selbst wenn zufällig derselbe Zahlenwert angezeigt wird.
03 · Interaktives Labor
Dezibel- und Verhältnis-Labor
Der obere Teil bildet einen realen progressiven Ebenenwellenzustand aus prms, z₀ und Fläche A auf drei verschiedene Referenzpegel ab. Der zweite Teil zeigt unabhängig davon, welches lineare Amplituden- bzw. Leistungsverhältnis zu einer frei gewählten Pegeldifferenz gehört.
Absolute ReferenzpegelDerselbe physikalische Zustand, drei Pegeldefinitionen
—Lp · DruckreferenzLI · 1 pW/m²LW · 1 pW
VerhältnisbrückeEin ΔL, zwei verschiedene lineare Verhältnisse
Amplitudenverhältnis 10ΔL/20Leistungsverhältnis 10ΔL/10
Lp—20 log₁₀(prms/pref)
LI—bez. auf 1 pW/m²
LW—bez. auf 1 pW
Wirkintensität—p²rms/z₀
Leistung durch A—IA
ΔL ratios—Amplitude / Leistung
—
—
20-log-Konsistenz—
10-log-Konsistenz—
Kohärente Referenzschließung der ebenen Welle—
Rückbezug: M05K05 definierte prms, Intensität und Leistung; K06 ändert keine dieser physikalischen Größen, sondern nur ihre Darstellung relativ zu Referenzen. Vorausblick: M05K07 · Resonatoren und Rohre benötigt diese Pegelsicht, um Resonanzverstärkung und Frequenzgänge über große Dynamikbereiche kompakt darzustellen.
K06 · Vier Aussagen
Ein Pegel ist erst mit Größe, Referenz und physikalischer Additionsregel eindeutig
Logarithmiert wird immer ein dimensionsloser Quotient. Eine Referenz ist Teil der Definition.
20 log gilt für amplitudenartige Größen nur, wenn die zugehörige leistungsartige Größe ∝ Amplitude² ist.
0 dB bedeutet exakt: betrachtete Größe = Referenzgröße.
Leistungen addieren sich linear; kohärente Druckfelder werden zuerst als Phasoren überlagert.
M05K07 · Resonatoren und Rohre
Ein Rohr resoniert nur in den Wellenmustern, die seine Enden zulassen.
Die allgemeinen Eigenmoden aus M03 werden hier akustisch konkret. In einem idealen, homogenen 1D-Rohr erzwingen offene und starre Enden komplementäre Bedingungen für Schalldruck und Teilchengeschwindigkeit. Daraus entstehen diskrete Wellenzahlen, Eigenfrequenzen und die bekannten Ganzzahl- bzw. ungeraden Harmonischen.
Druckknoten, Geschwindigkeitsbauch
p̂ = 0|û| maximal
Die idealisierte Öffnung wird als Druckfreigabe-Randbedingung modelliert: der akustische Überdruck verschwindet am geometrischen Ende. Reale Mündungen verschieben diesen Knoten etwas nach außen; das wird über eine effektive Rohrlänge beschrieben.
Geschwindigkeitsknoten, Druckbauch
û = 0|p̂| maximal
An einer starren Wand kann das Fluid normal zur Wand nicht schwingen. Aus der Impulsbilanz folgt für den Druck die Neumann-Bedingung ∂p̂/∂x=0: Druck und Geschwindigkeit besitzen komplementäre Knoten.
Offen–offen und geschlossen–geschlossen
knL = nπ
fn = nc2L, n=1,2,3,…
Beide Familien besitzen dieselben idealen Eigenfrequenzen, aber vertauschte Druck-/Geschwindigkeitsformen an den Enden. Der statische k=0-Zustand eines geschlossen–geschlossen Rohres ist keine oszillatorische akustische Resonanz und wird nicht als n=0 mitgezählt.
Geschlossen–offen: nur ungerade Harmonische
knL = (2n−1)π2
fn = (2n−1)c4L
Ein Ende verlangt einen Druckbauch, das andere einen Druckknoten. Die Grundmode benötigt deshalb nur eine Viertelwellenlänge im Rohr; die erlaubten Frequenzen entsprechen den Harmonischen 1,3,5,… des Grundtons.
Eigenfrequenz ≠ Antwortmaximum per Definition
Resonanz verbindet eine Eigenmode mit Anregung; Verluste begrenzen die Antwort
Die Randbedingungen bestimmen zunächst freie Eigenfrequenzen. Erst eine äußere Anregung erzeugt eine Resonanzantwort. In einem gedämpften realen Resonator bleiben Peak-Höhe und Bandbreite endlich.
Durch Geometrie, Randbedingungen und Schallgeschwindigkeit festgelegt.
Hohe Q-Werte bedeuten eine schmalere Resonanz und langsameren Energieverlust.
Im isolierten schmalbandigen Modenmodell liegen die Halb-Leistungs-Punkte bei etwa ±Δf/2.
Halbe Leistung entspricht am Bandbreitenrand exakt 10 log₁₀(1/2).
lokale Einmoden-Leistungsantwort
RP(f) ≈ 11 + [2Q(f/fn−1)]²
Diese Lorentzform ist eine lokale schmalbandige Näherung um eine isolierte Mode, nicht die vollständige Transferfunktion eines beliebigen Rohres.
Interaktiv · Rohrresonanz-Labor
Randbedingungen → Modenform → Spektrum → Resonanzfenster
Alle Ansichten stammen aus demselben idealen Rohrzustand. Die Modenansicht zeigt Schalldruck und normierte Teilchengeschwindigkeit, das Spektrum die ersten acht erlaubten Eigenfrequenzen und die Resonanzansicht eine lokale gedämpfte Antwort um die gewählte Mode.
Geometrie der stehenden Welle—
—momentanes p′ / p̂maxmomentanes z₀u / p̂maxDruckknoten
Durch Randbedingungen bestimmtes SpektrumErste acht oszillatorische Moden
allowed eigenfrequencygewähltes nAnregung fd
Lokale ResonanzlinseNormierte aktive Leistungsantwort
—RP−3,0103 dB Halbwertsleistunggewählter Antrieb
Eigenfrequency fn—randbedingt
Wellenlänge λn—c/fn
Modenphase knL—π units
Harmonische Ordnung—relativ zur Grundfrequenz der Familie
Anregungsfrequenz fd—gegenüber der gewählten Mode verstimmt
Halbwertsbandbreite—fn/Q
Leistungsantwort—relativ zum Modenmaximum
Antwortpegel—10 log₁₀ RP
—
—
Randbedingungs-Konsistenz—
Modenquantisierungs-Konsistenz—
Dispersions-Konsistenz—
−3-dB-Bandbreiten-Konsistenz—
Rückbezug: M03K06 und M03K07 lieferten die allgemeine Randwert-/Eigenfrequenzlogik; M05K02 koppelte Druck und Teilchengeschwindigkeit, K04 interpretierte offene/starre Grenzfälle als Impedanzgrenzen und K06 lieferte die −3.0103-dB-Skala. Vorausblick: M05K08 · Raummoden erweitert dieselbe Idee auf drei Raumrichtungen und Knotenflächen.
K07 · Fünf Aussagen
Rohrresonanz ist ein Randwertproblem vor einem Frequenzgangproblem
Ein ideales offenes Ende ist Druckknoten und Geschwindigkeitsbauch.
Das geschlossene Ende ist Geschwindigkeitsknoten und Druckbauch.
offen–offen und geschlossen–geschlossen besitzen im Idealmodell fn=nc/(2L).
geschlossen–offen besitzt nur die ungeraden Harmonischen des Viertelwellen-Grundtons.
Eigenfrequenz bestimmt die Modenlage; Dämpfung bzw. Q begrenzen die erzwungene Antwort und bestimmen ihre endliche Breite.
M05K08 · Raummoden
Ein rechteckiger Raum ist ein dreidimensionaler Resonator: drei Wandpaare quantisieren drei Wellenzahlkomponenten.
K07 quantisierte eine einzige Raumrichtung. In einem ideal starr begrenzten rechteckigen Raum wird dieselbe Bedingung auf x, y und z angewendet. Das Ergebnis ist kein einzelner Modenindex mehr, sondern ein Tripel (nₓ,nᵧ,n_z) mit eigener räumlicher Druckstruktur.
Jede Wand setzt die normale Teilchengeschwindigkeit auf null
∂p̂/∂x = 0 bei x=0,Lₓ
∂p̂/∂y = 0 bei y=0,Lᵧ
∂p̂/∂z = 0 bei z=0,L_z
Die separierbare Druckmode ist deshalb ein Produkt aus drei Kosinusfaktoren. Eine Wand ist im Idealmodell ein Druckbauch in Normalrichtung, nicht ein Druckknoten.
p̂nₓnᵧn_z ∝ cos(nₓπx/Lₓ) cos(nᵧπy/Lᵧ) cos(n_zπz/L_z)
Jeder nichtnull Index erzeugt Knotenflächen senkrecht zur zugehörigen Achse. Ein Nullindex bedeutet: entlang dieser Raumrichtung ist die Mode konstant.
fnₓnᵧn_z = c2 √[(nₓ/Lₓ)² + (nᵧ/Lᵧ)² + (n_z/L_z)²]
Das Frequenzquadrat ist die Summe der drei Richtungsbeiträge. (0,0,0) wäre nur ein statischer, räumlich konstanter Druckoffset und wird nicht als akustische Eigenmode gezählt.
Variation nur zwischen einem Wandpaar. Diese Moden sind die direkte 3D-Fortsetzung der geschlossen–geschlossen-Rohrmoden aus K07.
Das Druckfeld variiert in zwei Raumrichtungen; die dritte Richtung bleibt konstant.
Alle drei Raumrichtungen tragen zur räumlichen Struktur und zur Eigenfrequenz bei.
Idealmodell:
homogener, verlustloser Innenraum, starre rechteckige Wände und lineare Akustik. Reale Absorption, frequenzabhängige Wandimpedanzen, Türen/Möbel und diffuse Felder verschieben und verbreitern Moden. K08 isoliert zunächst die reine Geometrie.
02 · Familien, Entartung und Dichte
Modenzahl und Modenabstand sind geometrische Größen — Symmetrie kann verschiedene Moden auf dieselbe Frequenz legen
In einem unsymmetrischen Quader liegen die meisten Eigenfrequenzen getrennt. Werden zwei oder drei Raumkanten gleich, können verschiedene Indextripel denselben Betrag des Wellenvektors besitzen: Die Frequenz ist dann degeneriert, obwohl die räumlichen Moden verschieden bleiben.
Gleiche Frequenz bedeutet nicht gleiche Feldform. Eine quadratische Grundfläche erzeugt paarweise, ein Würfel dreifache Symmetrien schon bei den niedrigsten axialen Moden.
Im Lab wird diese Zahl direkt durch Enumeration berechnet. Dadurch bleiben Nullindizes und Degenerationen korrekt enthalten.
Der reine Volumenterm der Weyl-Näherung beschreibt die wachsende Modenzahl erst asymptotisch. Bei tiefen Frequenzen sind Wand-/Kantenkorrekturen und die diskrete Geometrie nicht vernachlässigbar.
Raummodenatlas-Labor
Ändere Raumgeometrie und Indextripel — Feldform, Eigenfrequenz, Degeneration und Modenzahl folgen aus demselben Zustandsmodell
Die Feldkarten zeigen normierten Schalldruck. Farbe codiert das Vorzeichen, Helligkeit den Betrag. Das Spektrum zählt jede räumliche Eigenmode einzeln; degenerierte Moden teilen dieselbe Frequenzposition.
Ausgewählte Eigenmode—
—positive p̂negative p̂Druckknotenlinie
Separierbare StrukturDrei 1D-Faktoren bilden die 3D-Mode
X-FaktorY-FaktorZ-Faktor
Diskretes SpektrumJedes Indextripel wird als eigene räumliche Mode gezählt
—axialtangentialobliquegewählte Frequenz
Kumulative ModenzahlExakte diskrete Anzahl vs. führende Volumenasymptote
exaktes N(f)Volumenterm 4πVf³/(3c³)
Gewählte Frequenz—fnₓnᵧn_z
Modenfamilie—Anzahl von Null verschiedener Indizes
|k|—rad/m
Wellenlänge λ—2π/|k|
Degeneracy—verschiedene Indextripel bei gleichem f
Modes ≤ fmax—exakte Aufzählung
Volume V—LₓLᵧL_z
Führende Dichte—dN/df ≈ 4πVf²/c³ at fmax
—
—
Starrwand-Konsistenz—
Helmholtz-Konsistenz—
Frequenzkonsistenz—
Klassifikationskonsistenz—
Rückbezug: M05K07 quantisierte die geschlossen–geschlossen-Geometrie in einer Achse; M03K10 formulierte Modalzerlegung allgemein. K08 tensorisiert diese Idee auf drei Raumrichtungen und macht Degeneration sowie Modendichte sichtbar. Weiterführung: M05K10 · Messung und Spektralanalyse zeigt, wie solche diskreten Resonanzen in endlichen Messspektren erscheinen.
K08 · Fünf Aussagen
Raummoden sind diskrete 3D-Feldmuster — nicht bloß eine Liste problematischer Frequenzen
Jede rechteckige Raumode wird durch das Tripel (nₓ,nᵧ,n_z) bestimmt.
Einzelne Indizes dürfen null sein; (0,0,0) ist nur ein statischer Offset und keine akustische Eigenmode.
Ein, zwei oder drei nichtnull Indizes erzeugen axiale, tangentiale oder oblique Moden.
Verschiedene räumliche Muster können exakt dieselbe Eigenfrequenz besitzen.
Der führende Hochfrequenzterm skaliert mit Raumvolumen und f² für dN/df; tiefe Moden bleiben diskret und geometriespezifisch.
M05K09 · Doppler-Effekt
Beim klassischen Doppler-Effekt zählt Bewegung relativ zum Medium — Quelle und Beobachter verändern die Frontfolge auf unterschiedliche Weise.
Schall besitzt ein ausgezeichnetes Bezugssystem: das Medium. Wir wählen die Ausbreitungsrichtung vom Sender zum Empfänger als +x. Dann sind v_s und v_o die Geschwindigkeitskomponenten von Quelle und Beobachter entlang dieser Richtung, jeweils relativ zum ruhenden Medium.
Die Quelle setzt den Abstand aufeinanderfolgender Fronten
T_s = 1/f_s
λ_+ = (c−v_s)T_s = (c−v_s)/f_s
f_medium = c/λ_+ = f_s c/(c−v_s)
Bewegt sich die Quelle in Ausbreitungsrichtung, startet die nächste Front weiter vorn: die Wellenlänge wird kleiner. Bei einer zurückweichenden Quelle wird sie größer.
Der Beobachter ändert die Geschwindigkeit, mit der Fronten ihn passieren
v_enc = c−v_o
f_obs = v_enc/λ_+
Ein Beobachter, der mit der Welle läuft (v_o>0), wird langsamer von den Fronten eingeholt. Bewegt er sich der Welle entgegen (v_o<0), trifft er sie häufiger.
fobs = fs c−voc−vs
Die Formel gilt hier für die nach +x laufende Wellenfamilie und eine subsonische Quelle v_s<c. In 3D werden v_s und v_o durch ihre Projektionen auf die lokale Ausbreitungsrichtung ersetzt.
Fronten werden komprimiert → höhere Mediums- und Empfangsfrequenz.
Front-Begegnungsrate steigt → höhere Empfangsfrequenz.
Die geänderte Frontweite und Begegnungsgeschwindigkeit kompensieren sich exakt: f_obs=f_s.
Klassisch, nicht relativistisch:
Das Medium definiert das Bezugssystem. Elektromagnetischer Doppler-Effekt benötigt eine andere Kinematik. Für v_s→c⁻ sagt das einfache Frontmodell λ_+→0 voraus; bei Überschallbewegung entsteht stattdessen eine Mach-Geometrie und die hier verwendete periodische 1D-Vorwärtsformel ist nicht mehr das richtige globale Bild.
02 · Gleiche Verschiebung, unterschiedliche Physik
Eine identische Frequenzverschiebung kann durch unterschiedliche Kinematik entstehen
Nur aus f_obs/f_s allein lässt sich nicht entscheiden, ob sich Quelle, Beobachter oder beide bewegt haben. Die Wellenlänge im Medium liefert zusätzliche Information, weil sie von der Quellbewegung abhängt, nicht von der Beobachterbewegung.
Das Medium enthält dieselbe räumliche Frontfolge wie bei ruhendem Beobachter; nur dessen Trajektorie schneidet diese Fronten schneller oder langsamer.
Bereits ein festes Mikrofon im Medium misst eine andere Frequenz, weil die bewegte Quelle eine andere räumliche Periodizität erzeugt.
Eine rein transversale Geschwindigkeit besitzt im klassischen lokalen Fernfeld keine lineare Doppler-component; entscheidend ist die Projektion auf die Ausbreitungsrichtung.
Doppler-Kinematik-Labor
Verfolge Quelle, Fronten und Beobachter im Mediumsrahmen — Wellenlänge und Begegnungsrate bleiben getrennte Größen
Das Lab verwendet die dimensionslosen Geschwindigkeiten β_s=v_s/c und β_o=v_o/c. Die Geometrie zeigt eine stationäre Folge früher emittierter Fronten, ein x–t-Diagramm und den exakten Frequenzfaktor für die ausgewählte Vorwärtsrichtung.
Momentaufnahme im MediumbezugssystemQuellenbewegung bestimmt den Frontabstand
—Quellerechtslaufende FrontenBeobachter
Raum-Zeit-GeometrieEmissionsstrahlen und Begegnungsereignisse
Quellen-Weltliniefront rays · slope cobserver worldline
Frequenzverhältnis-LinseQuellen- und Beobachterterme bleiben separierbar
Quellenperiode—
Vorwärtswellenlänge λ+—
Frequenz im Medium—
Begegnungsgeschwindigkeit—
Beobachtete Frequenz—
Frequenzverhältnis—
Shift Δf—
Beobachtete Periode—
λ-Konsistenz—
Medienkonsistenz—
Beobachter-Konsistenz—
Verhältnisidentität—
—
—
Rückbezug: M05K01 führte die laufende Druckwelle im Medium ein, M05K03 die Schallgeschwindigkeit und M02K02 die allgemeine Phasenkinematik. K09 fügt nun bewegte Quelle und bewegten Beobachter hinzu. Weiterführung: M05K10 · Messung und Spektralanalyse zeigt, wie Frequenzverschiebungen aus endlichen Zeitdaten und Spektren bestimmt werden.
K09 · Fünf Aussagen
Doppler ist Frontkinematik im Mediumsrahmen — Quelle und Beobachter sind nicht austauschbar
Quellen- und Beobachtergeschwindigkeiten müssen relativ zum Medium interpretiert werden.
Quellenbewegung verändert die Frontabstände und damit bereits die Mediumsfrequenz.
Beobachterbewegung ändert die Begegnungsrate, nicht die vorhandene Wellenlänge im Medium.
Im lokalen klassischen Modell geht die Geschwindigkeitsprojektion entlang der Ausbreitungsrichtung ein.
Die 1D-Vorwärtsformel darf nicht einfach durch die Schallgeschwindigkeit hindurch extrapoliert werden.
M05K10 · Messung und Spektralanalyse
Ein Spektrum ist kein direktes Bild der Physik — es ist das Ergebnis einer Mess- und Analysepipeline.
Ein Mikrofon liefert zunächst ein zeitabhängiges Signal. Erst Kalibrierung, Anti-Alias-Filter, Abtastung, endliche Messdauer und Fensterung bestimmen, welche digitale Folge tatsächlich in die DFT eingeht. Die FFT ist dabei nur ein effizienter Algorithmus zur Berechnung dieser diskreten Fourier-Transformation.
Akustischer Schalldruck p′(t) am Messort.
Mikrofon, Vorverstärkung und Kalibrierung in Pa.
Analoge Bandbegrenzung vor der Abtastung.
Diskrete Werte p[n] mit Rate f_s.
Endlicher Datensatz → diskrete Frequenzbins.
Zeit wird diskret
t_n = n/f_sp[n] = p′(t_n)f_N = f_s/2
Für ein ideal bandbegrenztes Signal muss der relevante Analoginhalt unterhalb der Nyquist-Frequenz liegen. Praktisch übernimmt das ein Anti-Alias-Filter vor dem A/D-Wandler.
Messdauer setzt das Frequenzraster
T = N/f_sΔf = f_s/N = 1/Tf_k = kΔf
Mehr Samples verbessern die Frequenzauflösung nur dann, wenn dadurch die Messdauer wächst. Eine höhere Abtastrate bei gleichem N erweitert primär die Bandbreite und vergrößert sogar Δf.
P[k] = Σn=0N−1 p[n] e−i2πkn/N
Die DFT projiziert den endlichen Datensatz auf genau N diskrete komplexe Basisfrequenzen. Eine FFT berechnet dieselben DFT-Koeffizienten nur effizienter — sie definiert kein anderes Spektrum.
02 · Aliasing, leakage, windowing
Drei Effekte müssen getrennt werden: Faltung, Raster und endliche Beobachtung
Aliasing ist eine Informationskollision durch zu langsame Abtastung. Leakage entsteht dagegen, weil ein endlicher Ausschnitt im Allgemeinen nicht periodisch an seinen Rändern anschließt. Fenster verändern diese Randgewichtung und damit die Spektralform.
falias = |((f+f_s/2) mod f_s) − f_s/2|
Nach der Abtastung sind echte Tieffrequenz und Alias digital nicht mehr unterscheidbar. Deshalb muss die Bandbegrenzung vor der ADC-Stufe stattfinden.
Ein rechteckiges Fenster entspricht dem abrupten Abschneiden des Datensatzes. Liegt eine Tonefrequenz nicht exakt auf kΔf, entstehen spektrale Seitenkeulen.
Fenster sind keine kostenlose „Glättung“. Sie tauschen Unterdrückung von Spektralleckage gegen Hauptkeulenbreite und verändern Amplituden-/Rauschskalierung. Die Lab-Amplituden werden um den Kohärenzgewinn des Fensters korrigiert.
Auflösung ≠ alleiniger Bin-Abstand:
Δf=1/T ist das DFT-Raster. Ob zwei nahe Töne tatsächlich getrennt erkennbar sind, hängt zusätzlich von Fensterhauptkeule, Signal-Rausch-Abstand, Amplitudenverhältnis und Schätzverfahren ab.
03 · FFT-/Spektrallabor
Abtasten → Fenster → DFT → interpretieren
Zwei Sinustöne bilden ein synthetisches Schalldrucksignal. Das Lab zeigt gleichzeitig das kontinuierliche Signal, die tatsächlich gespeicherten Samples, Alias-Faltung und das einseitige Amplitudenspektrum. Die Spektralhöhe wird mit dem Kohärenzgewinn des Fensters korrigiert; bei Leakage bleibt die Energie dennoch über mehrere Bins verteilt.
ZeitbereichKontinuierliches Signal und gespeicherte Abtastwerte
—
Analogmodellstored samples
AbtastgeometrieNyquist-Grenze und Alias-Faltung
—
tone 1tone 2Nyquist
Einseitiges AmplitudenspektrumDFT-Bins nach Fensterung
—
gefensterte DFTAlias Ton 1Alias Ton 2
Samples N—2m
Aufzeichnungsdauer T—N/fs
Bin-Abstand Δf—fs/N
Nyquist fN—fs/2
Alias Ton 1—digitales Basisband
Alias Ton 2—digitales Basisband
Record prms—sampled record
Record Lp—Ref. 20 µPa
—
—
Abtast-Konsistenz—
Raster-Konsistenz—
Alias-Konsistenz—
Parseval lens—
Rückbezug: M05K05 definierte zeitgemittelte Intensität und Leistung, M05K06 logarithmische Pegel, K07 Rohrresonanzen, K08 diskrete Raummoden und K09 Frequenzverschiebung. K10 zeigt nun, wie solche Frequenzstrukturen aus endlichen Messdaten überhaupt sichtbar werden. Damit ist M05 inhaltlich geschlossen.
K10 · Fünf Aussagen
Ein belastbares Spektrum beginnt vor der FFT
Aliasing lässt sich nach der Abtastung nicht aus den digitalen Daten zurückrechnen.
Frequenzraster und Messdauer sind direkt gekoppelt; mehr Bandbreite ist nicht automatisch mehr Auflösung.
Die DFT definiert die diskreten Frequenzkoeffizienten; die FFT berechnet sie effizient.
Weniger Seitenkeulen bedeutet typischerweise eine breitere Hauptkeule und andere Skalierungsfaktoren.
Kalibrierung, Referenz, Fenster, Messdauer und Abtastrate gehören zur Interpretation jedes Peaks.