kx − ωt + φ = const.
Konstante Phase läuft mit vp=ω/k in +x-Richtung. Das ist dieselbe kinematische Struktur wie in M02K02–K05.
M06K01 · Licht als Welle
Licht übernimmt die universelle Wellenstruktur — aber auf elektromagnetischen Feldern und optischen Skalen.
Für den Einstieg genügt ein einzelner transversaler Feldanteil einer ebenen monochromatischen Welle. Er oszilliert quer zur Ausbreitungsrichtung, während seine Phase in +x-Richtung läuft. Die vollständige Kopplung elektrischer und magnetischer Felder folgt erst in M07.
01 · Von der allgemeinen Welle zur optischen Welle
Die Gleichungen aus M02 bleiben gültig; geändert haben sich Feldbedeutung und Größenskala
M02 beschrieb eine laufende Welle abstrakt. In der Optik interpretieren wir Ψ als einen normierten transversalen Feldanteil. Damit können Wellenlänge, Frequenz, Phase und Mediumwirkung behandelt werden, ohne die Maxwell-Dynamik vorwegzunehmen.
+x → Ausbreitung
Ψ ∥ y
Ψ ∥ y
Die gezeichnete Feldkomponente steht quer zur Ausbreitung. Eine feste y-Richtung ist hier nur eine didaktische Wahl; Polarisation als Freiheitsgrad gehört zu K09.
f = c₀/λ₀
Schon im sichtbaren Arbeitsbereich von 380–780 nm liegen Frequenzen im Bereich einiger hundert Terahertz und Perioden bei wenigen Femtosekunden.
Kein Materietransport.
Die transversale Kurve ist kein mechanischer Faden und keine Bahn von Photonen. Sie visualisiert den momentanen Wert eines Feldanteils entlang des Raums. Die Quantisierung des elektromagnetischen Felds liegt außerhalb von M06.
02 · Gleiche Frequenz, andere räumliche Skala
In einem idealisierten Medium bleibt die Quellfrequenz gleich, während Phasengeschwindigkeit und Wellenlänge mit n schrumpfen
Für ein homogenes, isotropes, verlustfreies und in diesem Kapitel nichtdispersives Medium setzen wir v=c₀/n. Bei gleicher Frequenz folgt unmittelbar λ=v/f=λ₀/n. Eine Grenzfläche und ihre Winkelgeometrie werden noch nicht modelliert.
f bleibt fest
Die zeitliche Oszillationsrate wird von der Quelle vorgegeben. Im Vergleich Vakuum ↔ Medium verwenden beide Kurven dieselbe Frequenz.
λ wird kürzer
Je größer n, desto kleiner v und damit bei gleicher Frequenz die Wellenlänge im Medium.
n ist hier konstant
K04 verwendet diese lokale Annahme für Brechung an einer Grenzfläche; K10 hebt sie auf und behandelt n(λ₀) sowie dispersive Systemwirkung.
03 · Interaktives Labor
Optisches Wellenlabor
Ein normierter transversaler Feldanteil läuft durch ein homogenes Medium. Alle Ansichten verwenden denselben Zustand. Das räumliche Fenster umfasst 4 µm; der Vakuumvergleich zeigt dieselbe Quellfrequenz bei n=1.
Räumliches FeldTransversale Feldkomponente Ψ(x,t)
Ψ an der Sonde—
Vakuum ↔ MediumGleiches f, anderes λ
Fester MesspunktEine optische Periode
Frequenz f—c₀/λ₀
Periodendauer T—1/f
Wellenlänge im Medium λ—λ₀/n
Phasengeschwindigkeit v—c₀/n
Wellenzahl k—2π/λ
Kreisfrequenz ω—2πf
—
—
Vakuumkonsistenz—
Medienkonsistenz—
Phasengeschwindigkeits-Konsistenz—
Rückbezug: M02K02–K05 liefert laufende Welle, Phase, Wellenzahl und Phasengeschwindigkeit; M04K09 trennt bereits allgemeine Dispersion von einem konstanten Ausbreitungsparameter. M06K01 setzt diese Struktur nun auf optische Skalen. K02 erweitert die 1D-Phase zu Wellenfronten, K04 behandelt Brechung, K09 Polarisation und K10 Dispersion.
04 · Einordnung und Zuständigkeit
Was K01 selbst erklärt — und welche Physik die folgenden Kapitel des Moduls übernehmen
λ, f, T, k, ω und Phasengeschwindigkeit sind konsistent an einen einzigen harmonischen Zustand gekoppelt.
Der gezeichnete Feldanteil steht quer zur Ausbreitungsrichtung; seine Vektororientierung bleibt in K01 fest.
K03 und K04 ergänzen Randbedingungen und zweidimensionale Phasengeometrie für Reflexion und Brechung.
Elektrisches und magnetisches Feld, Maxwell-Gleichungen und Poynting-Vektor gehören zum Feldpfad M07/M08.
K09 macht die Orientierung und relative Phase zweier transversaler Feldkomponenten explizit.
K10 ersetzt den konstanten Index durch n(λ₀) und koppelt dieselbe Dispersion an Gruppenlaufzeit und Linsenwirkung.
M06K02 · Wellenfronten
Eine Wellenfront ist keine gezeichnete Kurve der Feldamplitude, sondern eine Fläche gleicher Phase.
K01 beschrieb die optische Phase entlang einer Raumrichtung. K02 hebt diese Beschreibung in zwei und drei Dimensionen: Aus dem skalaren Phasenfeld Φ(r,t) entstehen Flächen gleicher Phase, deren lokale Normale die Ausbreitungsrichtung der Phase festlegt.
01 · Phase wird Geometrie
Konstante Phase definiert Geometrie; der Phasengradient definiert ihre lokale Orientierung
Ein Phasenfeld ist eine skalare Funktion des Orts und der Zeit. Fixieren wir einen Phasenwert Φ*, erhalten wir zu jedem Zeitpunkt eine Niveaufläche. Zwei benachbarte Flächen, deren Phase sich um 2π unterscheidet, repräsentieren denselben Schwingungszustand eine Wellenlänge weiter.
Φ(r,t) = Φ*
In 3D ist das im Allgemeinen eine Fläche, in einem 2D-Schnitt eine Linie. Die Wellenfront selbst ist keine Materialfläche und transportiert keine markierten Teilchen.
∇Φ ⟂ 𝒲
Der Gradient zeigt in die Richtung des stärksten Phasenanstiegs und steht senkrecht auf der lokalen Wellenfront. Für eine monochromatische ebene Welle ist ∇Φ=k.
|∇Φ| Δs = 2π
Entlang der lokalen Normalen beträgt der Abstand zweier gleichphasiger Nachbarfronten Δs=λ, sofern |∇Φ|=2π/λ.
Wellenfront ≠ Amplitudenprofil.
Die sinusförmige Kurve aus K01 zeigt den Feldwert entlang einer Raumachse. Eine Wellenfront verbindet dagegen verschiedene Raumpunkte mit demselben Phasenwert. Beides sind unterschiedliche Schnitte durch dasselbe Wellenmodell.
02 · Zwei kanonische Geometrien
Ebene Fronten besitzen konstante Normale; sphärische Fronten besitzen eine ortsabhängige radiale Normale
Im homogenen isotropen K02-Medium bleibt der Betrag des Wellenvektors konstant. Die Geometrie kann sich trotzdem unterscheiden: Eine ebene Welle hat überall dieselbe Phasenrichtung, eine ideale Punktquelle erzeugt konzentrische Kugelflächen.
Φ = k·r − ωt + φ₀
∇Φ=k ist räumlich konstant. Die Wellenfronten sind parallele Ebenen; im Lab erscheinen sie als parallele Linien.
Φ = kr − ωt + φ₀
Außerhalb der idealisierten Quelle gilt ∇Φ=k r̂. Die Fronten sind Kugelflächen; ein 2D-Schnitt zeigt konzentrische Kreise.
λ/R ≪ 1
Ist der lokale Krümmungsradius groß gegenüber λ, wirkt ein kleiner Frontausschnitt nahezu eben. K05 formalisiert aus dieser lokalen Normalengeometrie die Strahlennäherung.
Keine Intensitätsaussage.
Eine sphärische Wellenfront wird mit wachsendem Radius größer; daraus folgt im verlustfreien Fernfeld geometrische Verdünnung, die bereits in M02K10 behandelt wurde. K02 verfolgt ausschließlich die Phase und setzt keine optische Leistungs- oder Feldamplitudenskala.
03 · Bewegung einer Niveaufläche
Die Frontgeschwindigkeit folgt direkt daraus, dass ein mitbewegter Phasenwert konstant bleibt
Ein Punkt, der auf derselben Phasenfläche bleibt, erfüllt entlang seiner Bahn dΦ/dt=0. Damit verbindet die Kettenregel zeitliche Phasenänderung und räumlichen Phasengradienten.
dΦ/dt = ∂tΦ + vf·∇Φ = 0
Nur die normale Komponente von vf ist durch die Bewegung der Niveaufläche festgelegt; eine tangentiale Verschiebung bleibt auf derselben Front.
vn = −∂tΦ / |∇Φ|
Für Φ=…−ωt ist vn=ω/|∇Φ|. Bei |∇Φ|=k folgt wieder vp=ω/k aus K01.
vn = c₀/n
K02 hält wie K01 n konstant und isotrop. Räumlich veränderliches n(r) und Richtungsänderungen gehören erst zur Brechungs- und Strahlgeometrie der folgenden Kapitel.
04 · Interaktives Labor
Wellenfront-Geometrielabor
Wechsle zwischen ebener und sphärischer Phase. Das Lab zeichnet gleichphasige Fronten in einem 4,8 × 3,2 µm großen Ausschnitt, markiert die Front durch den Probe-Punkt und koppelt sie an den lokalen Phasengradienten sowie einen eindimensionalen Schnitt entlang der Frontnormalen.
Phasengeometrie im Ortsraum—
lokale Normale—
Normalschnitt durch die SondeDieselbe Phase wiederholt sich nach einem λ
Sondenphase—
—
—
Front durch die Sonde—
Normalenrichtung—
Lokale Geometrie—
Wellenlänge im Medium λ—λ₀/n
Wellenzahl |∇Φ|—2π/λ
Phasengeschwindigkeit v—ω/|∇Φ|
Frontabstand Δs—2π/|∇Φ|
Sondenphase mod 2π—momentane lokale Phase
Radius / Ebenengrenzfall——
Abstandskonsistenz—|∇Φ|Δs / 2π
Geschwindigkeitskonsistenz—|∇Φ|v / ω
Einheitsnormalen-Konsistenz—|n̂|
Rückbezug: M06K01 liefert k, ω, λ und v; M02K10 behandelt geometrische Ausbreitung und Amplitudenskalen. K02 isoliert die Phasengeometrie. K03/K04 setzen diese Geometrie an eine Grenzfläche, K05 formalisiert die lokale Normalenrichtung als geometrisch-optische Näherung.
05 · Einordnung und Verbindungen
Die Frontgeometrie ist in K02 definiert; K03–K05 verwenden sie für Grenzflächen und Strahlen
Ebene und sphärische Fronten werden aus einem expliziten Phasenfeld konstruiert.
∇Φ liefert an jedem regulären Punkt Orientierung und lokale Wellenzahl.
Die normale Phasengeschwindigkeit folgt aus dΦ/dt=0 und schließt exakt an ω/k an.
K03 wendet die Frontgeometrie auf eine stationäre ebene Grenzfläche an und spiegelt die normale Wellenvektorkomponente.
K04 koppelt die tangentiale Phasenkontinuität an zwei Wellenzahlbeträge und erhält daraus Snells Gesetz.
K05 formalisiert die Kurzwellengrenze, in der lokale Frontnormalen als geometrisch-optische Strahlen verwendet werden können.
M06K03 · Reflexion
Eine ebene Grenzfläche spiegelt die normale Komponente des Wellenvektors — nicht seine tangentiale Phase.
M04K02 erklärte Reflexion allgemein als rücklaufende Randlösung. In der Optik kommt nun die zweidimensionale Phasengeometrie hinzu: Eine stationäre, entlang der Grenzfläche homogene Ebene kann weder die Frequenz noch die tangentiale Phasenrate ändern. Im selben Medium bleibt außerdem der Betrag von k gleich. Daraus folgt die spiegelnde Richtung unmittelbar.
01 · Phasenanpassung an einer stationären Ebene
Die Grenzfläche darf für alle Orte und Zeiten nur eine gemeinsame tangentiale Phasenstruktur sehen
Wir legen die Grenzfläche in die x-Richtung und ihr Lot in die y-Richtung. Die einfallende Welle läuft aus y>0 zur Fläche y=0. Der Winkel θ wird wie in der Optik üblich gegen das Lot gemessen.
Φi=k(sinθix−cosθiy)−ωt
Der Normalanteil von ki zeigt zur Grenzfläche; der Tangentialanteil transportiert die Phase entlang der Grenzfläche.
Φr=k(sinθrx+cosθry)−ωt+φr
Die reflektierte Welle läuft vom Interface weg. Ein zusätzlicher Reflexionsphasensprung φr verschiebt ihre Fronten, ändert aber ihre Richtung nicht.
ωr=ωi
k∥,r=k∥,i
k∥,r=k∥,i
Zeitinvarianz erhält die Frequenz; Translationssymmetrie entlang der homogenen Grenzfläche erhält die tangentiale Wellenzahl.
Was hier nicht bestimmt wird.
Diese Symmetrieargumente fixieren die Reflexionsrichtung, aber nicht den Reflexionsbetrag und nicht allgemein den Phasensprung. Elektromagnetische Fresnel-Koeffizienten hängen von Materialparametern, Einfallswinkel und Polarisation ab; Polarisation ist in K09 beschrieben; die vollständige elektromagnetische Feldkopplung bleibt M07/M08 vorbehalten.
02 · Spiegelgesetz als Vektorreflexion
Im selben homogenen Medium bleibt |k| erhalten — deshalb kann nur der Normalanteil sein Vorzeichen wechseln
Zerlege den einfallenden Wellenvektor in einen tangentialen und einen normalen Anteil. Reflexion an einer ebenen stationären Grenze lässt den tangentialen Anteil unverändert und kehrt den normalen Anteil um.
ki=k∥+kn
Mit Einheitsnormaler n̂ gilt kn=(ki·n̂)n̂. Der Rest liegt in der Grenzflächenebene.
kr=ki−2(ki·n̂)n̂
Die Spiegelabbildung erhält jeden tangentialen Anteil exakt und invertiert nur die Komponente entlang des Lots.
θr=θi
Da Betrag und tangentiale Komponente beider Wellen identisch sind, sind ihre Winkelbeträge gegen das Lot gleich.
Winkel immer gegen das Lot.
Ein Winkel von 0° bedeutet Normaleneinfall. Gegen die Grenzflächenebene selbst wäre der komplementäre Winkel 90°−θ. Das Lab verwendet ausschließlich die Normalenkonvention.
03 · Interaktives Labor
Optisches Reflexionslabor
Verändere Wellenlänge, Medium, Einfallswinkel, Zeitphase und einen frei vorgegebenen Reflexionsphasensprung. Alle Darstellungen teilen denselben analytischen Zustand: reale Wellenfronten, Wellenvektoren, Grenzflächenphase und k-Raum-Geometrie.
Phasengeometrie im OrtsraumEinfallende + reflektierte Wellenfronten
Gesetz—
Grenzflächen-PhasenverlaufGleiche tangentiale räumliche Frequenz
Λ∥—
k-Raum-SpiegelungNormalkomponente wechselt Vorzeichen
|k|—
Wellenlänge im Medium λ—λ₀/n
Wellenzahl k—2π/λ
Tangential k∥—k sinθ
Normal |kₙ|—k cosθ
Reflexionswinkel θᵣ—θᵣ = θᵢ
Reflexionsphase φᵣ—richtungsunabhängiger Offset
Betragskonsistenz—|kᵣ| / |kᵢ|
Tangentialkonsistenz—(k∥,r−k∥,i)/k
Normalspiegel-Konsistenz—(kₙ,r+kₙ,i)/k
Winkelkonsistenz—θᵣ−θᵢ
Rückbezug: M06K02 definierte Wellenfronten und lokale Phasennormalen; M04K02 erklärte Reflexion als allgemeine Randkorrektur. K03 spezialisiert diese Struktur auf eine ebene optische Grenzfläche. K04 lässt hinter derselben Grenzfläche zusätzlich eine Welle in einem zweiten Medium propagieren und erhält daraus Brechung.
04 · Was die Reflexion festlegt — und was nicht
Die Richtung ist kinematisch eindeutig; Amplitude und Polarisation benötigen zusätzliche Physik
Für die ebene stationäre Grenze ist die reflektierte Richtung durch Symmetrie und denselben Wellenzahlbetrag vollständig festgelegt.
Eine zeitlich stationäre Grenze erzeugt im linearen Modell keine Frequenzverschiebung: ωᵣ=ωᵢ.
Ein konstanter Phasenoffset verschiebt die reflektierten Wellenfronten, ohne den Reflexionswinkel zu ändern.
K04 führt einen zweiten Wellenzahlbetrag hinter der Grenze ein und leitet daraus Snells Gesetz ab.
K09 liefert die Feldorientierung; die elektromagnetischen Randbedingungen und damit Fresnel-Amplituden bleiben M07/M08 vorbehalten.
K05 formalisiert, wann Wellenfrontnormalen als geometrisch-optische Strahlen verwendet werden können.
M06K04 · Brechung
Brechung entsteht, weil die Grenzfläche die tangentiale Phase erhält, während sich |k| im zweiten Medium ändert.
K03 hielt bei Reflexion sowohl k∥ als auch den Betrag |k| fest. Für Brechung bleibt an derselben stationären homogenen Grenzfläche weiterhin ω und k∥ erhalten, aber das zweite Medium besitzt k₂=n₂k₀ statt k₁=n₁k₀. Die neue Richtung folgt daraus ohne zusätzliche Strahlenannahme.
01 · Phasenanpassung zwischen zwei Medien
Eine gemeinsame Grenzflächenphase erzwingt dieselbe zeitliche und tangentiale Phasenrate auf beiden Seiten
Medium 1 liegt oberhalb, Medium 2 unterhalb der Ebene y=0. Beide Wellen laufen zur beziehungsweise von der Grenzfläche in Richtung negativer y-Werte. Die Winkel werden wie in K03 gegen das Lot gemessen.
Φ₁=k₁(sinθ₁ x−cosθ₁ y)−ωt
Im ersten homogenen Medium ist k₁=n₁k₀. An der Grenzfläche bleibt davon nur die x-abhängige tangentiale Phase übrig.
Φ₂=k₂(sinθ₂ x−cosθ₂ y)−ωt
Im zweiten Medium ändert sich der Wellenzahlbetrag auf k₂=n₂k₀; die Frequenz bleibt für die stationäre Grenze gleich.
k₁ sinθ₁ = k₂ sinθ₂
Die Phase muss für jedes x entlang derselben homogenen Grenzfläche dieselbe räumliche Rate besitzen. Das ist die erhaltene tangentiale Wellenzahl.
Keine Frequenzbrechung.
Beim Übergang durch eine zeitlich stationäre lineare Grenzfläche bleibt f gleich. Was sich ändert, sind Phasengeschwindigkeit v=c₀/n, Wellenlänge λ=λ₀/n, Wellenzahlbetrag und — sofern n₁≠n₂ — die Ausbreitungsrichtung.
02 · Snell aus Wellenvektorgeometrie
Snells Gesetz ist die k-Raum-Schnittbedingung zweier Wellenzahlkreise mit demselben k∥
Mit kⱼ=nⱼk₀ wird aus der tangentialen Phasenanpassung direkt n₁sinθ₁=n₂sinθ₂. Ein größerer Brechungsindex bedeutet bei gleicher Frequenz einen größeren Wellenzahlbetrag und eine kleinere Wellenlänge.
n₂>n₁ ⇒ θ₂<θ₁
Der größere k-Kreis kann denselben Tangentialanteil mit einem größeren Normalanteil tragen. Die Phasennormale kippt zum Lot.
n₁ sinθ₁ = n₂ sinθ₂
Die Relation ist hier keine geometrisch-optische Ausgangsregel, sondern folgt aus dem Wellenphasen-Matching an der Grenzfläche.
n₂<n₁ ⇒ θ₂>θ₁
Der kleinere k-Kreis verlangt für dasselbe k∥ einen kleineren Normalanteil. Die Phasennormale kippt vom Lot weg — solange eine reale propagierende Lösung existiert.
Propagierender K04-Zweig.
Eine reale gebrochene ebene Welle erfordert |(n₁/n₂)sinθ₁|≤1. Wird diese Bedingung verletzt, zeigt das Lab nur die fehlende reale Schnittlösung im k-Raum. Die zusätzliche Randphysik jenseits dieser Grenze — insbesondere evaneszente Felder — wird hier nicht modelliert.
03 · Interaktives Labor
Brechungslabor
Verändere Vakuumwellenlänge, beide Brechungsindizes, Einfallswinkel und Zeitphase. Realraumfronten, Grenzflächenphase und k-Raum zeigen denselben Zustand und schließen Snells Gesetz direkt aus der erhaltenen tangentialen Wellenzahl.
Phasengeometrie im OrtsraumGleiche Phasenrate an der Grenzfläche, unterschiedliche Wellenlänge
Snell-Zustand—
Grenzflächen-PhasenverläufeGleiches k∥ auf beiden Seiten
Tangentialperiode—
k-Raum-KonstruktionEin k∥, zwei |k|-Kreise
Brechung—
Wellenlänge λ₁—λ₀/n₁
Wellenlänge λ₂—λ₀/n₂
Geschwindigkeitsverhältnis v₂/v₁—n₁/n₂
Tangential k∥—k₁ sinθ₁
Brechungswinkel θ₂—asin[(n₁/n₂)sinθ₁]
Indexverhältnis n₂/n₁—sets k₂/k₁
Snellius-Residuum—(n₁sinθ₁−n₂sinθ₂)/max(n)
k∥-Residuum—(k∥,1−k∥,2)/k₀
Frequenzverhältnis—f₂/f₁
λ/v-Konsistenz—(λ₂/λ₁)/(v₂/v₁)
Rückbezug: M06K03 etablierte Frequenz- und Tangentialinvarianz an derselben ebenen stationären Grenzfläche; M06K01 lieferte k=nk₀, v=c₀/n und λ=λ₀/n. K04 kombiniert beides zu Snells Gesetz. K05 verwendet diese lokalen Phasennormalen anschließend als Strahlen nur dort, wo die Kurzwellennäherung zulässig ist.
04 · Was K04 festlegt
Brechungsrichtung, Wellenlänge und Geschwindigkeit sind festgelegt — Amplituden benötigen zusätzliche Feldphysik
Für eine reale propagierende Lösung legt n₁sinθ₁=n₂sinθ₂ den gebrochenen Winkel eindeutig fest.
Die stationäre Grenzfläche hält die Frequenz konstant; Wellenlänge und Phasengeschwindigkeit skalieren gemeinsam mit 1/n.
Die Phase besitzt entlang der homogenen Grenzfläche auf beiden Seiten exakt denselben tangentialen Wellenzahlanteil.
K05 bestimmt über die Kurzwellenskala, wann lokale Wellenfrontnormalen als Strahlen behandelt werden können und wann diese Näherung versagt.
K09 stellt den Polarisationszustand bereit; reflektierte und transmittierte Feldamplituden benötigen zusätzlich die elektromagnetischen Randbedingungen aus M07/M08.
K04 behandelt n₁ und n₂ als konstante Skalare; K10 erweitert dies zu frequenzabhängigem n(λ₀).
M06K05 · Geometrische Optik als Näherung
Ein Lichtstrahl ist die lokale Normalenbahn der Phase — gültig nur bei sauberer Trennung von Wellenlänge und Geometrieskala.
K01–K04 beschrieben Licht bewusst als Welle. Geometrische Optik ersetzt diese Welle nicht durch ein zweites Modell, sondern nimmt ihren Kurzwellengrenzfall: Die Phase ändert sich sehr schnell, Amplitude, Frontkrümmung und Materialeigenschaften dagegen nur über deutlich größere Längenskalen. Dann kann die lokale Wellenfront durch ihre Normale repräsentiert werden.
01 · Vom Phasenfeld zum Strahlenfeld
Die Eikonalphase behält die lokale Wellengeometrie und mittelt die schnelle Oszillation aus
Schreibe einen skalaren optischen Feldanteil als langsam variierende Amplitude A(r) mal schnell oszillierende Phase. Im Kurzwellengrenzfall wird die lokale Phase durch eine dimensionslose Eikonal-Funktion S(r) beschrieben. Für ein isotropes Medium gilt dann |∇S|=n(r).
k(r)=k₀∇S(r)
Der Phasengradient aus K02 wird nun zum lokalen Wellenvektor. Sein Betrag ist |k|=nk₀, exakt die optische Skalierung aus K01/K04.
d r/ds = t̂ = ∇S/|∇S|
Strahlen sind Integralkurven der lokalen Wellenfrontnormalen. Sie markieren damit Phasenrichtung, nicht die Bahn eines einzelnen Feldwertes und nicht automatisch eine Photonentrajektorie.
S = n s + const.
Bei konstantem n sind die Strahlen gerade. An stückweise konstanten Medien reproduzieren die lokalen Richtungen die Reflexions- und Brechungsgesetze aus K03/K04.
Approximationsstatus.
Die Eikonalgleichung ist hier die führende Kurzwellennäherung eines zugrunde liegenden Wellenmodells. K05 behauptet daher nicht, dass Wellencharakter „verschwindet“; er wird nur auf Skalen gemittelt, die groß gegenüber λ sind.
02 · Skalentrennung erzeugt die Approximation
Ein lokaler Strahl benötigt eine Zwischenskala: groß gegen λ, klein gegen die Änderungsskala L
Eine lokale Wellenfront darf weder über nur einen Bruchteil einer Wellenlänge beurteilt werden noch über ein Gebiet, in dem ihre Krümmung oder das Medium bereits stark variiert. Deshalb benötigt die geometrische Optik mindestens eine mesoskale Länge ℓ mit λ≪ℓ≪L.
εw=λ/ℓ ≪ 1
Innerhalb des lokalen Fensters liegen viele Wellenlängen. Erst dann ist eine gemittelte Phasenrichtung sinnvoll von der einzelnen Oszillation getrennt.
εg=ℓ/L ≪ 1
Über dasselbe Fenster ändern sich Frontkrümmung, Amplitude und Materialparameter nur wenig. Im Lab steht L=R für den lokalen Krümmungsradius.
ε=λ/L=εwεg
Nur λ/L≪1 garantiert, dass überhaupt eine breite Zwischenregion existieren kann. Eine natürliche balancierte Wahl ist ℓ*=√(λL).
Keine universelle 10%-Grenze.
„≪“ ist asymptotisch und problemabhängig. Das Lab färbt Zustände lediglich als starke, brauchbare oder schwache Skalentrennung, damit die beiden dimensionslosen Verhältnisse sichtbar werden; diese Farbstufen sind didaktische Heuristik, keine neue physikalische Schwelle.
03 · Entlang eines Weges akkumulierte Phase
Optische Weglänge ist die geometrisch-optische Buchführung der Wellenphase
Entlang eines kleinen Wegstücks gilt dφ=k ds=k₀n ds. Daher wird die gesamte Phasenakkumulation durch die optische Weglänge beschrieben. Die stationäre Phase führt zum Fermat-Prinzip.
OPL = ∫ n ds
Ein geometrisch längerer Weg kann optisch kürzer oder länger sein, je nachdem, durch welche Brechungsindizes er führt.
Δφ = k₀ · OPL
Die Strahlenbeschreibung bleibt damit an die Wellenphase gekoppelt. K06 greift genau diese Phasendifferenzen wieder auf, wenn mehrere Beiträge interferieren.
δ ∫ n ds = 0
Ein physikalischer Strahl macht die optische Weglänge stationär. „Stationär“ bedeutet nicht in jedem Problem „global minimal“.
04 · Interaktives Labor
Strahlenapproximations-Labor
Wir fixieren einen Analysepunkt im Abstand R von einer sphärischen Quelle und betrachten die lokale Phasenniveaufläche durch diesen Punkt. Wähle ein Analysefenster ℓ: Das Lab prüft gleichzeitig, ob darin viele Wellenlängen liegen und ob die Front über dieses Fenster nur wenig gekrümmt ist. Die radialen Normalen sind die zugehörigen geometrisch-optischen Strahlen.
Wellenfront → Normalenfeld → StrahlenSphärische Phasengeometrie
λ/R—
Skalenleiterλ → ℓ → R
Balanced ℓ*—
Lokaler AusschnitttestZwei unabhängige kleine Parameter
Größtes Verhältnis—
Wellenlänge im Medium λ—λ₀/n
Wellen pro Ausschnitt ℓ/λ—sollte ≫1 sein
Radius pro Ausschnitt R/ℓ—sollte ≫1 sein
Wellenverhältnis λ/ℓ—Fehlerindikator der schnellen Skala
Geometrieverhältnis ℓ/R—Fehlerindikator der langsamen Skala
Globales Verhältnis λ/R—Kurzwellenparameter
Skalenprodukt-Konsistenz—(λ/ℓ)(ℓ/R)/(λ/R)
Ausgeglichene Skalen-Konsistenz—ℓ*/√(λR)
Eikonalbetrag—|k|/(nk₀)
Norm der Strahlentangente—|t̂|
Rückbezug: M06K02 definierte Wellenfronten als Phasenniveauflächen und ihre Normalen durch ∇Φ; K03 und K04 bestimmten Reflexions- und Brechungsrichtungen aus Grenzflächen-Phasenanpassung. K05 interpretiert diese lokalen Normalen nun als Strahlen, sofern die Skalentrennung stark genug ist.
05 · Was das Strahlenmodell beibehält — und was es verwirft
Geometrische Optik bewahrt lokale Phase und Richtung, aber nicht die endliche Wellenstruktur
Die Strahlrichtung bleibt direkt an den lokalen Phasengradienten gebunden.
Phasenakkumulation wird über OPL=∫n ds komprimiert; damit bleiben Brechung und Laufzeit geometrisch zugänglich.
K03/K04 werden im Strahlenbild zu Spiegel- und Snell-Konstruktionen an Grenzflächen.
Werden mehrere Wege kohärent zusammengeführt, reicht eine reine Strahlintensität nicht; K06 stellt die explizite Superposition wieder her.
An Kanten, Spalten und Öffnungen auf Wellenlängenskala bricht die lokale Strahlbeschreibung zusammen; K07/K08 behandeln diese Welleneffekte.
Die Richtung allein enthält keine transversale Feldorientierung. K09 ergänzt Polarisation; die elektromagnetische Dynamik bleibt M07/M08 vorbehalten.
M06K06 · Interferenz
Optische Interferenz entsteht, wenn sich kohärente Feldamplituden addieren und der Detektor anschließend quadratisch mittelt.
K01–K05 verfolgten Phase, Wellenfronten und Strahlen. K06 führt zwei optische Beiträge wieder am selben Beobachtungspunkt zusammen. Die Felder addieren sich linear; die gemessene zeitlich gemittelte Intensität enthält deshalb einen phasenabhängigen Kreuzterm.
01 · Feldsumme → Detektorobservable
Die lineare Superposition bleibt erhalten — die optische Intensität ist jedoch quadratisch
Wir betrachten zwei monochromatische Beiträge mit derselben Kreisfrequenz und derselben skalaren Feldkomponente. Normieren wir ihre komplexen Amplituden so, dass |aᵢ|²=Iᵢ, dann entsteht der Interferenzterm allein aus dem Betragsquadrat der Summe.
a₁ = √I₁
Die gemeinsame Referenzphase wird ohne Einschränkung auf null gesetzt.
a₂ = √I₂ eiΔφ
Nur die relative Phase beeinflusst die stationäre Interferenz.
|a₁+a₂|²
Das Betragsquadrat erzeugt die Einzelintensitäten plus den Kreuzterm 2√I₁I₂ cosΔφ.
Was „kohärent“ hier bedeutet
Beide Beiträge besitzen dieselbe Frequenz und eine über die Messzeit stabile relative Phase. K06 modelliert außerdem dieselbe skalare Feldkomponente. Orthogonale Polarisationen und ihre Interferenzfähigkeit gehören zu K09; partielle zeitliche oder räumliche Kohärenz wird hier nicht parametrisiert.
02 · Extrema und Kontrast
Die Phase verschiebt die Intensität zwischen zwei durch die Strahlstärken festgelegten Grenzen
Da −1≤cosΔφ≤1, folgen Maximum und Minimum ohne weitere Optik. Vollständige Dunkelheit verlangt zusätzlich gleiche Einzelintensitäten.
Imax = (√I₁ + √I₂)²
Der Kreuzterm ist maximal positiv.
Imin = (√I₁ − √I₂)²
Bei I₁=I₂ wird das Minimum exakt null.
V = (Imax−Imin)/(Imax+Imin)= 2√I₁I₂/(I₁+I₂)
Für perfekt kohärente Beiträge misst V hier ausschließlich die Intensitätsbalance.
03 · Phase als optische Wegdifferenz
Eine relative Phase kann als optische Wegdifferenz gelesen werden
Für zwei Wege in derselben homogenen, nichtdispersiven Umgebung ist eine feste relative Phase äquivalent zu einer optischen Wegdifferenz. K06 verwendet diese Relation nur lokal; K07 erzeugt sie anschließend aus konkreter Doppelspaltgeometrie.
Δφ = 2π ΔOPL / λ₀
ΔOPL ist die Differenz der optischen Weglängen ∫n ds.
Δφ = 2π Δs / λ
Mit λ=λ₀/n gilt ΔOPL=nΔs.
ΔOPL = λ₀ ↔ Δφ = 2π
Phasenwerte unterscheiden sich nur modulo 2π.
04 · Interaktives Labor
Zweistrahl-Interferenzlabor
Zwei perfekt kohärente skalare Beiträge treffen am selben Beobachtungspunkt ein. Das Lab trennt bewusst die schnelle momentane Feldoszillation von der zeitlich gemittelten Detektorintensität und zeigt dieselbe Zustandslage zusätzlich als Phasorsumme und Phasenscan.
Komplexe Amplitudenebenea₁ + a₂
|a|²—
Ein optischer ZyklusMomentanes Skalarfeld
ωt—
E₁E₂E₁+E₂
Detektorantwort über der relativen PhaseI(Δφ)
Sichtbarkeit—
Gesamtintensität I—Detektorobservable
Kreuzterm—2√I₁I₂ cosΔφ
Imax—konstruktiver Grenzfall
Imin—destruktiver Grenzfall
Sichtbarkeit V—Kontrast
Wellenlänge im Medium λ—λ₀/n
Equivalent ΔOPL—λ₀ Δφ/2π
Equivalent Δs—λ Δφ/2π
Phasor-/Intensitätskonsistenz—|a₁+a₂|² / I
Mittelwert der Extrema—(Imax+Imin)/2 /(I₁+I₂)
Sichtbarkeitsidentität—V / [2√I₁I₂/(I₁+I₂)]
Weg-Phasen-Schließung—(Δs/λ)/(Δφ/2π)
—
—
Rückbezug: M03K03 liefert die allgemeine Phasorsumme; M06K01 setzt die optische Wellenlänge im Medium; M06K05 zeigte, welche Phaseninformation eine reine Strahlenintensität nicht mehr enthält. K06 stellt diese relative Feldphase explizit wieder her.
05 · Einordnung und Verbindungen
K06 beschreibt lokale Zweistrahl-Interferenz — noch kein räumliches Spaltmuster
Driftet Δφ während der Messung über viele Zyklen, mittelt sich der Kreuzterm teilweise oder vollständig aus.
Die hier verwendete Formel setzt dieselbe Feldkomponente voraus. K09 erweitert die Beschreibung um Polarisation.
K07 berechnet aus der Zweiweg-Geometrie eine ortsabhängige Wegdifferenz und damit ein räumliches Interferenzmuster.
K08 ersetzt punktförmige Aperturbeiträge durch eine kontinuierliche endliche Öffnung und ihre Beugungsstruktur.
M06K07 · Doppelspalt
Zwei kohärente Spalte machen aus einer lokalen Phasendifferenz ein räumliches Interferenzmuster.
K06 behandelte zwei Beiträge am selben Beobachtungspunkt. K07 fügt die Geometrie hinzu: Zwei ideale Punktspalte mit Abstand d besitzen zu jedem Punkt des Schirms zwei unterschiedliche Wege. Deren Differenz bestimmt Phase und Intensität.
01 · Geometrie → Weg → Phase
Die exakte Geometrie bleibt die Referenz; Fernfeld- und Kleinwinkelformeln sind kontrollierte Näherungen
Wir setzen die Spalte bei y=±d/2, den Schirm in Abstand L und den Beobachtungspunkt bei y. Daraus folgen zwei Weglängen ohne zusätzliche Optikannahme.
Kein Fernfeld nötig
r₁=√[L²+(y−d/2)²]
r₂=√[L²+(y+d/2)²]
r₂=√[L²+(y+d/2)²]
Die stabile Differenzform Δr=2yd/(r₁+r₂) vermeidet numerische Auslöschung.
K06 lokal, K07 räumlich
Δφ(y)=2π Δr(y)/λ
Jeder Schirmpunkt erhält seine eigene relative Phase. Die K06-Intensitätsformel wird damit zu einer Ortsfunktion.
Fernfeld und Kleinwinkel
Δr≈d sinθ
sinθ≈y/L
sinθ≈y/L
Erst beide Schritte zusammen liefern die bekannte lineare Fransenlage yₘ≈mλL/d.
Ideale Punktspalte.
Jeder Spalt wird hier als kohärente Punktquelle gleicher Stärke behandelt. Eine endliche Spaltbreite erzeugt zusätzlich eine Beugungshülle; genau diese Erweiterung gehört zu K08.
02 · Ordnungen und Streifenabstand
Ganze Wellenlängen ergeben Maxima, halbe Zusatzwellen Minima
Für gleichphasige, gleichstarke Beiträge gelten konstruktive und destruktive Bedingungen direkt für die exakte Wegdifferenz.
Δr = mλ
m=0,±1,±2,…. Das zentrale Maximum liegt exakt bei y=0.
Δr = (m+½)λ
Zwischen benachbarten hellen Ordnungen liegt bei ideal gleichen Spalten jeweils ein vollständiges Minimum.
Δy ≈ λL/d
Diese konstante Fransenweite ist keine exakte Geometrieeigenschaft, sondern die Kleinwinkelgrenze der exakten Ordnungsorte.
03 · Interaktives Labor
Doppelspalt-Labor
Die linke Ansicht zeigt zwei geometrische Pfade zu einem frei verschiebbaren Detektor. Rechts wird daraus das vollständige Schirmmuster berechnet. Die durchgezogene Kurve verwendet die exakte Wegdifferenz; die gestrichelte Kurve zeigt die Fernfeldnäherung d sinθ.
Quellen–Schirm-GeometrieExakte Weglängen
Detektor—
SchirmmusterExaktes vs. asymptotisches Modell
I/Imax—
exaktes ΔrFraunhofer d sinθKleinwinkel dy/L
Exakte Wegdifferenz Δr—2yd/(r₁+r₂)
Ordnungskoordinate Δr/λ—Phase / 2π
Intensität I/Imax—cos²(πΔr/λ)
Beobachtungswinkel θ—atan(y/L)
Kleinwinkel-Abstand—λL/d
Fraunhofer-Phasenfehler—|d sinθ−Δr| / λ
Paraxialer Phasenfehler—|dy/L−Δr| / λ
Wellenlänge im Medium λ—λ₀/n
Geometrieidentität—Δr(r₁+r₂)/(2yd)
Phasenkonsistenz—(Δφ/2π)/(Δr/λ)
Intensitätskonsistenz—cos² gegenüber entwickelter Form
Abstandsverhältnis erster Ordnung—y₁,exakt /(λL/d)
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—
Rückbezug: K06 liefert die lokale Zweistrahl-Intensität aus Δφ. K07 erzeugt Δφ nun aus der räumlichen Wegdifferenz. K05 erklärt, wann die Fernfeld-/Strahlgeometrie eine gute Näherung ist. K08 ersetzt die idealen Punktspalte durch endliche Aperturen.
04 · Einordnung und Verbindungen
Der Doppelspalt zeigt Interferenzgeometrie — die Spalte selbst besitzen hier noch keine Breite
Die Referenzrechnung verwendet die vollständigen euklidischen Wege r₁ und r₂.
d sinθ und λL/d werden gegen die exakte Geometrie geprüft, nicht als Identitäten behandelt.
K08 integriert kohärent über eine endliche Spaltbreite und erzeugt daraus die Einzelspalt-Beugungshülle.
K07 nimmt dieselbe skalare Feldkomponente auf beiden Wegen an; K09 ergänzt die transversale Polarisationsorientierung und Analysatorprojektion.
M06K08 · Beugung
Eine endliche Apertur ist kein einzelner Strahl — sie summiert ein Kontinuum kohärenter Feldbeiträge.
K07 idealisierte jeden Spalt als punktförmige Quelle. K08 löst diese Näherung auf: Jeder Ort innerhalb eines endlich breiten Einzelspalts trägt mit eigener Phase zum Fernfeld bei. Die kontinuierliche Summe erzeugt das charakteristische sinc²-Muster.
01 · Von zwei Wegen zum Kontinuum
Beugung ist Interferenz über eine räumlich ausgedehnte Öffnung
Im skalaren Fraunhofer-Modell wird der Spalt als gleichmäßig beleuchtete Linie der Breite a behandelt. Für eine Beobachtungsrichtung θ wächst die relative Phase quer über die Öffnung linear.
Kontinuierliche Superposition
U/U₀ = (1/a) ∫−a/2a/2 eikξ sinθ dξ
Die K06-Phasorsumme wird von zwei diskreten Beiträgen zu einem Integral über unendlich viele infinitesimale Aperturstreifen.
Die sinc-Funktion entsteht geometrisch
U/U₀ = sinβ/β, β = πa sinθ/λ
Bei β=mπ mit m≠0 umfasst die Aperturphase eine ganzzahlige Zahl voller Zyklen; die Vektorsumme verschwindet.
Winkel und Schirmkoordinate sind getrennte Schritte
sinθ = y/√(L²+y²)
Erst zusätzlich für kleine Winkel folgt sinθ≈y/L und damit die bekannte Nullstellenlage yₘ≈mλL/a.
Modellgrenze
Die sinc-Verteilung selbst ist bereits eine Fraunhofer-/Fernfeldbeschreibung. K08 prüft deshalb zusätzlich die dimensionslose Skala η=a²/(λL): η≪1 unterstützt die Fernfeldannahme; bei größerem η wird Nahfeldstruktur relevant, die dieses Kapitel nicht simuliert.
02 · Interaktive Öffnungssumme
Beugungs-Labor
Verändere Wellenlänge, Medium, Spaltbreite, Schirmdistanz und Detektorposition. Das Lab koppelt Aperturphase, Phasorsumme und Schirmintensität an dasselbe Zustandsmodell.
ÖffnungsgeometriePhasenstreuung über den endlichen Spalt
Detektor—
Öffnungs-PhasorintegralKontinuierliche Auslöschung in der komplexen Ebene
Phasenspanne—
Screen profileFraunhofer-Winkelmodell vs. paraxiale Schirmabbildung
I/I₀—
Fraunhofer mit exakter Winkelabbildungzusätzliche Kleinwinkelabbildung y/L
Wellenlänge im Medium λ—λ₀/n
Aperturverhältnis a/λ—räumliche Skalentrennung
Phasenkoordinate β—πa sinθ/λ
Intensität I/I₀—sinc²β
Erste Nullstelle |y₁|—a sinθ₁ = λ
Breite des zentralen Maximums—2|y₁|
Fernfeldskala η—a²/(λL)
Paraxialer Intensitätsfehler—|Iparax−Iangular|
Integralkonsistenz—|Unum−sincβ|
Imaginärteil-Auslöschung—|Im Unum|
Beziehung der ersten Nullstelle—a sinθ₁ / λ
Spiegelsymmetrie—|I(−y)−I(y)|
—
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Rückbezug: K06 formulierte kohärente Feldsummen, K07 erzeugte die Phase aus zwei diskreten Wegen. K08 ersetzt diese zwei Beiträge durch ein kontinuierliches Aperturintegral. K09 ergänzt anschließend die Vektorrichtung des transversalen Feldes.
03 · Einordnung und Verbindungen
Das sinc²-Muster ist ein Fernfeldmodell — nicht die vollständige Lösung jeder Aperturgeometrie
Die Apertur besitzt konstante skalare Feldamplitude und eine endliche Breite a.
Die lineare Aperturphase kξ sinθ setzt Fernfeldstruktur voraus. η=a²/(λL) zeigt die zugehörige Skala.
Quadratische Aperturphase, Nahfeldzonen und Kantentransienten benötigen eine weitergehende Propagationsrechnung.
K08 behandelt eine skalare Feldkomponente; K09 ergänzt Orientierung, Elliptizität und Projektion transversaler Feldvektoren.
M06K09 · Polarisation
Transversalität lässt noch einen Freiheitsgrad offen: wie der Feldvektor in der Querebene orientiert ist.
K01 zeichnete absichtlich nur eine feste transversale Komponente. K09 hebt diese Einschränkung auf und beschreibt einen monochromatischen optischen Zustand durch zwei orthogonale Feldkomponenten mit eigener Amplitude und relativer Phase. Ihre Spitze zeichnet im Allgemeinen eine Ellipse.
01 · Zwei transversale Komponenten
Polarisation ist relative Amplitude plus relative Phase — nicht eine neue Ausbreitungsrichtung
Für eine Welle entlang der z-Achse liegt der hier betrachtete Feldvektor in der x-y-Ebene. Eine gemeinsame Phase verschiebt nur den Zeitpunkt auf derselben Bahn; Form und Orientierung der Polarisationsellipse werden allein durch Aₓ, Aᵧ und δ bestimmt.
Zwei komplexe Amplituden genügen
Ẽ = (Aₓ, Aᵧeiδ)
Die globale komplexe Phase ist für die Polarisation irrelevant; entscheidend ist nur die relative Phase zwischen den Komponenten.
Die Feldspitze zeichnet eine Kegelschnittbahn
(Eₓ/Aₓ)² + (Eᵧ/Aᵧ)² − 2(EₓEᵧ/AₓAᵧ)cosδ = sin²δ
Die degenerierte Ellipse ist eine Gerade; bei gleichen Amplituden und Quadraturphase wird sie zum Kreis.
Ein linearer Analysator ist eine Projektion
Eα = E · ûαûα=(cosα,sinα)
Gemessen wird die zeitlich gemittelte quadratische Projektionsamplitude. Malus’ Gesetz ist der lineare Spezialfall davon.
Vorzeichenkonvention
Dieses Kapitel setzt S₃=2AₓAᵧ sinδ. Das Vorzeichen kennzeichnet die Umlaufrichtung in der dargestellten x-y-Ebene; die Benennung „rechts/links“ wird vermieden, weil sie zusätzlich von Blickrichtung und Konvention abhängt.
02 · Koordinatenunabhängige Diagnostik
Stokes-Parameter trennen Gesamtstärke, lineare Orientierung und Umlaufrichtung
Für den vollständig polarisierten Zustand liefern vier reelle Größen eine robuste Darstellung, die direkt mit Analysatormessungen verknüpft werden kann.
S₀ und S₁
S₀=Aₓ²+Aᵧ²S₁=Aₓ²−Aᵧ²
S₁ misst die Präferenz der x- gegenüber der y-component.
S₂ und S₃
S₂=2AₓAᵧ cosδS₃=2AₓAᵧ sinδ
Für einen reinen Zustand gilt exakt S₁²+S₂²+S₃²=S₀².
Azimut ψ und Elliptizität χ
ψ=½ atan2(S₂,S₁)χ=½ asin(S₃/S₀)
|tanχ| ist das Verhältnis kleiner zu großer Ellipsenhalbachse.
03 · Interaktiver transversaler Zustand
Polarisationslabor
Verändere beide Komponentenamplituden, ihre relative Phase, die aktuelle Zeitphase und den Winkel eines idealen linearen Analysators. Ellipse, Zeitspuren, Analysatorscan und Stokes-Diagnostik verwenden exakt denselben Zustand.
TransversalebenePolarisationsellipse und momentanes Feld
Zustand—
Eine optische PeriodeKomponenten und Analysatorprojektion
Eα aktuellProjektion
EₓEᵧEα nach dem Analysator
Idealer linearer AnalysatorZeitgemittelte Transmission über dem Analysatorwinkel
T(α)—
Gesamtskala S₀—Aₓ²+Aᵧ²
Normiertes s₁—(Aₓ²−Aᵧ²)/S₀
Normiertes s₂—2AₓAᵧcosδ/S₀
Normiertes s₃—2AₓAᵧsinδ/S₀
Ellipsenazimut ψ—½ atan2(S₂,S₁)
Ellipticity χ—½ asin(S₃/S₀)
Achsenverhältnis |b/a|—|tanχ|
Analysatortransmission—⟨Eα²⟩ / Einfallsskala
Stokes-Kugel-Konsistenz—|s₁²+s₂²+s₃²−1|
Analysatorkonsistenz—direkte − Stokes-Form
Abschluss des Zeitmittels—abgetastete Periode − analytisch
Reinzustandsinvariante—|S₀²−ΣSᵢ²|
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Rückbezug: K01 führte einen festen transversalen Feldanteil ein, K06 behandelte Interferenz derselben skalaren Komponente. K09 macht nun die zweidimensionale transversale Feldorientierung explizit. Die elektromagnetische Kopplung von E und B wird erst in M07 dynamisch hergeleitet.
04 · Einordnung und Verbindungen
Polarisation ist hier vollständig als optischer Zustand beschrieben — aber noch nicht aus Maxwell abgeleitet
Linear, zirkular und elliptisch entstehen aus zwei kohärenten transversalen Komponenten derselben Frequenz.
Die Projektion verbindet den Feldzustand mit einer messbaren zeitlich gemittelten Intensität; Malus folgt als Spezialfall.
Materialabhängige relative Phasenverzögerung und anisotrope Ausbreitung benötigen zusätzliche Medienphysik.
K10 hebt den konstanten Brechungsindex auf und verbindet frequenzabhängige Ausbreitung mit Gruppenlaufzeit und optischen Systemelementen.
M06K10 · Dispersion und optische Systeme
Wenn n von der Frequenz abhängt, trennen sich Phase, Puls und Fokus.
K01–K09 behandelten den Brechungsindex innerhalb eines Zustands als konstant. K10 hebt diese Annahme auf: verschiedene Spektralkomponenten besitzen verschiedene Wellenzahlen, Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten. In einem optischen System wird daraus unmittelbar eine wellenlängenabhängige Systemantwort.
01 · Materialdispersion
Der Index ist eine Spektralfunktion — nicht mehr nur eine Zahl
n(λ₀)
n=A+B/λ₀²
λ₀ ist die Vakuumwellenlänge. Das Cauchy-Modell dient hier als glatte lokale Näherung in einem transparenten Spektralbereich; Resonanzen und Absorption sind nicht enthalten.
ng
ng=n−λ₀ dn/dλ₀ = A+3B/λ₀²
Der Gruppenindex folgt aus der Steigung der Dispersionsrelation. Für B>0 ist ng>n und die Hüllkurve läuft langsamer als eine Phasenfläche.
Verschiedene Farben, verschiedene Ankunft
τg(λ₀)=Dng(λ₀)/c₀
Eine endliche Bandbreite besitzt deshalb eine Laufzeitspreizung. Das Lab zeigt die zusätzliche Materialverzögerung relativ zum Vakuum und die Differenz zwischen den Bandrändern.
Wichtige Trennung
Phasengeschwindigkeit transportiert eine konstante Phase; Gruppengeschwindigkeit beschreibt hier die lokale Bewegung einer schmalbandigen Hüllkurve. K10 setzt keine Aussage über Signalfront- oder Informationsgeschwindigkeit aus einem beliebigen globalen Cauchy-Modell ab.
02 · Folge für das optische System
Dieselbe Materialdispersion verschiebt den Fokus einer Linse
Lensmaker reduction
1/f=(n−1)(1/R₁−1/R₂)R₁=+R, R₂=−R → f=R/[2(n−1)]
Die Linse steht in Luft, ist dünn und paraxial. Weil n von λ₀ abhängt, wird auch die Brechkraft spektral.
Blue focuses earlier
Für B>0 gilt im Cauchy-Modell n(λblue)>n(λred). Eine positive Linse hat damit für die kürzere Wellenlänge die größere Brechkraft und den kleineren Brennweitenbetrag.
fblue < fcenter < fred
Chromatische Antwort
Reale optische Systeme kombinieren Materialien und Flächen, um spektrale Fokusfehler zu kontrollieren. K10 zeigt nur die elementare Ursache an einem homogenen dünnen Linsenelement.
Δf=fred−fblue
03 · Interaktive spektrale Ausbreitung
Dispersions- und optisches Systemlabor
Verändere Spektralzentrum und Bandbreite, die beiden Cauchy-Parameter, die Materialstrecke und die Linsenkrümmung. Indexkurve, Gruppenlaufzeit und chromatische Fokuslage verwenden denselben Zustand.
Spektrale MaterialantwortPhasenindex n und Gruppenindex ng
Center—
Phasenindex nGruppenindex ngaktives Spektrum
AusbreitungslaufzeitZusätzliche Gruppenlaufzeit gegenüber Vakuum
Bandspreizung—
DünnlinsensystemChromatische Fokusverschiebung aus demselben n(λ₀)
Δf—
λ−λcλ+
Zentraler Phasenindex n—n(λc)
Zentraler Gruppenindex ng—n−λ₀ dn/dλ₀
Phasengeschwindigkeit vp/c₀—1/n
Gruppengeschwindigkeit vg/c₀—1/ng
Band-Gruppenlaufzeitspreizung—|τg(λ−)−τg(λ+)|
Center GVD β₂—d²k/dω²
Zentrale Brennweite—R/[2(n−1)]
Chromatische Fokusspreizung—f(λ+)−f(λ−)
Gruppenindex-Identität—|ng−(n−λdn/dλ)|
dk/dω-Konsistenz—|c₀ dk/dω−ng|
Laufzeitkonsistenz—|c₀Δτ/D−Δng|
Linsenstärken-Schließung—|1/f−2(n−1)/R|
—
—
Rückbezug: K01 setzte n konstant, K04 leitete Snell aus tangentialer Phasenanpassung ab und K05 führte die Strahlgrenze ein. K10 macht n spektral und zeigt an Laufzeit sowie Linsenfokus, wie Materialdispersion in eine Systemantwort eingeht. Die elektromagnetische Ursache der Materialantwort bleibt M07/M08 vorbehalten.
04 · Modulabschluss
M06 schließt mit einer klaren Grenze zwischen Wellenoptik, Strahlenapproximation und Materialmodell
Ein lokales Cauchy-Modell verbindet spektralen Index, Gruppenindex, Laufzeit und chromatische Brechkraft.
Die Systemwirkung wird an einer symmetrischen paraxialen Einzellinse gezeigt, nicht an einem vollständigen Kamera- oder Teleskopdesign.
Komplexe Brechzahl, Kramers-Kronig-Kopplung und dissipative Materialantwort benötigen die elektromagnetische Materialbeschreibung späterer Module.
M07 ersetzt die phänomenologische optische Welle durch gekoppelte elektrische und magnetische Felddynamik.